Дифференциальные уравнения, Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В., 2004

Дифференциальные уравнения, Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В., 2004.
 
    Изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и даны основные понятия об уравнениях с частными производными первого порядка. Авторы стремились объединить строгость изложения теории дифференциальных уравнений с прикладной направленностью ее методов. В связи с этим приведены многочисленные примеры из механики и физики. Отдельная глава посвящена линейным ОДУ второго порядка, к которым приводят многие прикладные задачи. Главу, посвященную изложению численных методов, следует рассматривать как вводную.
Для студентов технических университетов и ВУЗов. Может быть полезен интересующимся прикладными задачами теории дифференциальных уравнений.

Основные понятия и определения.
При рассмотрении всевозможных физических явлений часто не удается непосредственно найти зависимость между величинами, характеризующими эволюционный, т.е. изменяющийся во времени, процесс. Аналогичные трудности могут возникнуть и в ситуациях, когда в качестве независимого переменного выступает одна из координат точки или иная переменная величина. Однако во многих случаях можно установить связь между искомыми характеристиками изучаемого явления (функциями) и скоростями их изменения относительно других переменных, т.е. найти уравнения, в которые входят производные неизвестных функций. Такие уравнения называют дифференциальными.
Если неизвестные функции зависят от одного независимого переменного (аргумента), то говорят об обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ), иначе — о дифференциальных уравнениях с частными производными.
Ограничимся (в основном) рассмотрением свойств и методов решения ОДУ.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Основные обозначения 9
1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях 15
1.1. Основные понятия и определения 15
1.2. Геометрическая интерпретация решения ОДУ. Поле направлений 18
1.3. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 19
Вопросы и задачи 23
2. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка 24
2.1. Постановка задачи Коши. Интегральное неравенство 24
2.2. Теорема существования и единственности решения (теорема Коши) 27
2.3. Оценка разности решений двух уравнений. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и параметра 37
2.4. Изоклины и их использование для приближенного построения интегральных кривых 45
Вопросы и задачи 47
3. Дифференциальные уравнения первого порядка 49
3.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 49
3.2. Однородные и квазиоднородные уравнения 55
3.3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 59
3.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати 63
3.5. Особые точки и особые решения ОДУ первого порядка 71
3.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной 74
Д.3.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах 78
Д.3.2. Ортогональные и изогональные траектории 109
Вопросы и задачи 113
4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 115
4.1. Задача и теорема Коши 115
4.2. Частное и общее решения системы дифференциальных уравнений 118
4.3. Оценка разности двух решений 119
4.4. Теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения высшего порядка. Случаи понижения порядка 125
Вопросы и задачи 132
5. Системы линейных дифференциальных уравнений 134
5.1. Определения и основные свойства решений 134
5.2. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского — Лиувилля   138
5.3. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем 144
5.4. Метод вариации постоянных 147
5.5. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы 151
5.6. Нахождение фундаментальной системы решений в случае различных корней характеристического уравнения 153
5.7. Структура фундаментальной системы решений в случае кратных корней 161
Вопросы и задачи 168
6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 169
6.1. Сведение к линейной системе. Определитель Вронского и структура общего решения однородного уравнения 169
6.2. Общее решение неоднородного уравнения. Метод Лагранжа вариации постоянных 177
6.3. Понижение порядка линейного дифференциального уравнения 183
6.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай различных корней характеристического уравнения 185
6.5. Формула сдвига. Случай кратных корней характеристического уравнения. Уравнения Эйлера, Лагранжа, Чебышева 190
6.6. Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью . 200
Вопросы и задачи 208
7. Нули решений дифференциального уравнения второго порядка 211
7.1. Приведение уравнения к двучленному виду 211
7.2. Нули решений. Теорема о конечности числа нулей на отрезке 214
7.3. Теорема о чередовании нулей. Теоремы сравнения и Кнезера 216
Д.7.1. О нулях решений нелинейных дифференциальных уравнений 222
Вопросы и задачи 223
8. Первые интегралы 224
8.1. Основные понятия и определения 224
8.2. Теорема о локальном существовании системы первых интегралов 228
8.3. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов 230
8.4. Симметричная форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений 231
Вопросы и задачи 234
9. Элементы теории устойчивости 235
9.1. Основные определения и понятия 235
9.2. Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений 241
9.3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению 245
9.4. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости 251
9.5. Теоремы Четаева и Ляпунова о неустойчивости 254
Д.9.1. Библиографический комментарий 257
Вопросы и задачи 258
10. Особые точки на фазовой плоскости 259
10.1. Фазовый портрет системы 259
10.2. Система нелинейных дифференциальных уравнений 273
Д. 10.1. Математическая модель сосуществования двух популяций 278
Вопросы и задачи 281
11. Краевые задачи для дифференциального уравнения 283
11.1. Постановка краевой задачи 283
11.2. Линейная краевая задача. Сведение ее к задаче Коши 286
11.3. Прикладные примеры решения краевой задачи 290
Вопросы и задачи 303
12. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений 304
12.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов 304
12.2. Метод последовательных приближений 308
12.3. Метод ломаных Эйлера 310
12.4. Метод Рунге — Кутты 314
12.5. Метод Чаплыгина 320
Вопросы и задачи 324
13. Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными 325
13.1. Линейное дифференциальное уравнение. Уравнения характеристик. Задача Коши 325
13.2. Квазилинейное дифференциальное уравнение 330
Вопросы и задачи 334
Список рекомендуемой литературы 335
Предметный указатель 338.