Дифференциальное исчисление функций одного переменного - Иванова Е.Е.

Название: Дифференциальное исчисление функций одного переменного. 1998.
Автор: Иванова Е.Е.
    Книга является вторым выпуском комплекса учебников "Математика в техническом университете". Знакомит читателя с понятиями производной и дифференциала, с их использованием при исследовании функций одного переменного. Большое внимание уделено геометрическим приложениям дифференциального исчисления и его применению к решению нелинейных уравнений, интерполированию и численному дифференцированию функций. Приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ имени Н.Э.Баумана.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. 5
Основные обозначения. 9
1. Производная функции. 13
1.1. Вводные замечания. 13
1.2. Разностное отношение. 15
1.3. Понятие производной. 19
1.4. Механический и геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к плоской кривой. 21
1.5. Производные основных элементарных функций. 23
1.6. Односторонние конечные и бесконечные производные. 26
1.7. Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции. 30
Вопросы и задачи. 33
2. Правила дифференцирования функций. 36
2.1. Дифференцирование и арифметические операции. 36
2.2. Производная сложной функции. 42
2.3. Производная обратной функции. 48
2.4. Производная функции, заданной параметрически. 51
2.5. Дифференцирование неявных функций. 55
2.6. Основные правила и формулы дифференцирования функций. 57
Вопросы и задачи. 59
3. Дифференциал. 63
3.1. Определение дифференциала и его геометрический смысл. 63
3.2. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы записи дифференциала. 66
3.3. Использование дифференциала в приближенных вычислениях. 68
Д.3.1. Оценка погрешности приближенных вычислений. 69
Вопросы и задачи. 76
4. Производные и дифференциалы высших порядков. 78
4.1. Производные высших порядков. 78
4.2. Примеры механической и физической интерпретаций производной второго порядка. 84
4.3. Формула Лейбница. 88
4.4. Производные высших порядков параметрически и неявно заданных функций. 91
4.5. Дифференциалы высших порядков. 95
Д.4.1. Геометрическое и механическое толкование дифференциала второго порядка. 97
Вопросы и задачи. 102
5. Основные теоремы дифференциального исчисления. 106
5.1. Теоремы о нулях производных. 106
5.2. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений. 112
5.3. Теорема Коши. 117
Д.5.1. О непрерывности производных. 123
Вопросы и задачи. 128
6. Раскрытие неопределенностей. 131
6.1. Раскрытие неопределенности вида. 131
6.2. Неопределенность вида. 137
6.3. Особенности применения правила Бернулли - Лопи-таля. 142
6.4. Другие виды неопределенностей. 146
Вопросы и задачи. 154
7. Формула Тейлора. 156
7.1. Линейное и квадратичное приближения функции. 156
7.2. Многочлен Тейлора и формула Тейлора. 159
7.3. Различные представления остаточного члена формулы Тейлора. 164
7.4. Формула Маклорена. 170
7.5. Вычисление пределов при помощи формулы Тейлора. 180
Д.7.1. Использование формулы Тейлора в приближенных вычислениях. 183
Д.7.2. Обобщенная теорема о среднем значении. 186
Вопросы и задачи. 188
8. Исследование функций. 192
8.1. Условия возрастания и убывания функций. 192
8.2. Экстремум функции. Необходимые условия существования экстремума. 197
8.3. Достаточные условия существования экстремума функции. 201
8.4. Условия выпуклости функции. 207
8.5. Точки перегиба. 213
8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции в промежутке. 218
8.7. Асимптоты графика функции. 222
8.8. Общая схема исследования функции и построение ее графика. 226
Д.8.1. Особенности исследования функций, заданных параметрически. 231
Вопросы и задачи. 241
9. Геометрические приложения дифференциального исчисления. 244
9.1. Векторная функция скалярного аргумента. 244
9.2. Понятие кривой. 249
9.3. Плоские кривые. 257
9.4. Кривизна плоской кривой. 262
9.5. Эволюта и эвольвента плоской кривой. 274
Д.9.1. Кривизна и кручение пространственной кривой. 280
Д.9.2. Примеры плоских кривых. 288
Вопросы и задачи. 305
10. Интерполирование и численное дифференцирование. 309
10.1. Табличный способ задания функции. 309
10.2. Линейная интерполяция. 311
10.3. Квадратичная интерполяция. 313
10.4. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 315
10.5. Интерполяционный многочлен Ньютона. 319
10.6. Интерполирование с кратными узлами. 323
10.7. Численное дифференцирование. 328
Д.10.1. Минимизация погрешности интерполяции. 337
Д. 10.2. Интерполирование сплайнами. 341
Вопросы и задачи. 346
11. Решение нелинейных уравнении. 348
11.1. Постановка задачи. 348
11.2. Нули многочленов. 350
11.3. Точные решения алгебраических уравнений. 353
11.4. Отделение корней алгебраических уравнений. 360
11.5. Численные методы уточнения значения корня. 369
11.6. Метод простой итерации. 374
11.7. Метод Ньютона. 382
11.8. Комбинированные методы. 386
Д.11.1. Метод Чебышева. 390
Вопросы и задачи. 393
Список рекомендуемой литературы. 395
Предметный указатель.
Замечание 6.1. При нахождении предела отношения функций по правилу Бернулли - Лопиталя обычно используют такую запись, как в (6.4), а в существовании нужных производных и пределов убеждаются непосредственно в ходе вычислений. Поэтому в дальнейшем будем приводить лишь запись необходимых преобразований.
Замечание 6.2. Если все условия теоремы 6.1 выполнены только в правой (или только в левой) полуокрестности точки а, то эта теорема верна в отношении только правостороннего при х -> а + 0 (или только левостороннего при х -> о - 0) предела отношения f(x)/g(x) функций в этой точке. В случае бесконечного одностороннего предела будем иметь либо + оо, либо -oо.