Дифференциальное и интегральное исчисления в примерах и задачах, Функции одной переменной, Марон И.А., 1970

Дифференциальное и интегральное исчисления в примерах и задачах, Функции одной переменной, Марон И.А., 1970.

   Книга представляет собой пособие по решению задач математического анализа (функции одной переменной). Большинство параграфов книги содержит краткие теоретические введения, решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Кроме задач алгоритмически-вычислительного характера, в ней содержится много задач, иллюстрирующих теорию и способствующих более глубокому ее усвоению, развивающих самостоятельное математическое мышление учащихся. Цель книги — научить студентов самостоятельно решать задачи по курсу математического анализа (изучение теории должно производиться по какому-либо из существующих учебников). Книга предназначена для студентов технических, экономических ВУЗов и нематематических факультетов университетов. Она может оказаться полезной лицам, желающим повторить и углубить втузовский курс математического анализа, начинающим преподавателям, а также учителям средней школы, ведущим факультативные курсы в старших классах.
   Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа во втузе.
Цель пособия — содействовать активизации упражнений по математике, придать этим упражнениям, в некотором смысле, характер семинарских занятий.
Большое внимание обращено на задачи, углубляющие теоретический материал. Это определило и содержание книги: наряду с типовыми задачами вычислительного характера помещены примеры и задачи, поясняющие теорию, способствующие более глубокому ее пониманию, развивающие навыки точного математического мышления обучающихся. В книге приведено также некоторое количество контрпримеров, позволяющих выяснить необходимость тех или иных условий в формулировках основных теорем математического анализа.
Структура книги такова. В начале каждого параграфа дается сжатое теоретическое введение, содержащее основные определения, формулировки важнейших теорем и главнейшие формулы. Затем приводится полное решение одной или нескольких характерных задач. Далее помещены задачи без решения в тексте, аналогичные рассмотренным, но часто содержащие некоторые особенности. Часть из них снабжена указаниями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Введение в математический анализ 7
§ 1.1. Действительные числа. Абсолютная величина действительного числа 7
§ 1.2. Понятие функции. Область определения 11
§ 1.3. Элементарное исследование функций 17
§ 1.4. Обратные функции 22
§ 1.5. Построение графиков функций 24
§ 1.6. Числовые последовательности. Предел последовательности 34
§ 1.7. Вычисление пределов последовательностей 40
§ 1.8. Признаки существования предела последовательности 42
§ 1.9. Предел функции 47
§ 1.10. Техника вычисления пределов 51
§ 1.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение их 58
§ 1.12. Эквивалентные бесконечно малые. Применением отысканию пределов 61
§ 1.13. Односторонние пределы 64
§ 1.14. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация 66
§ 1.15. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции 72
§ 1.16. Свойства функции, непрерывной на отрезке. Непрерывность обратной функции 74
§ 1.17. Дополнительные задачи 78
Глава II. Дифференцирование функций 84
§ 2.1. Понятие производной 84
§ 2.2. Дифференцирование явно заданных функций 86
§ 2.3. Повторное дифференцирование явно заданных функций. Формула Лейбница 92
§ 2.4. Дифференцирование обратных функций и функций, заданных неявно или параметрически 96
§ 2.5. Приложения производной 100
§ 2.6. Дифференциал функции. Приложение к приближенным вычислениям 106
§ 2.7. Дополнительные задачи 110
Глава III. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций 113
§ 3.1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях 113
§ 3.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 119
§ 3.3. Формула Тейлора. Приложение к приближенным вычислениям 124
§ 3.4. Локальная формула Тейлора. Применение к вычислению пределов 128
§ 3.5. Признаки монотонности функции 129
§ 3.6. Максимумы и минимумы функции 132
§ 3.7. Отыскание наибольших и наименьших значений функции 138
§ 3.8. Решение задач геометрического и физического содержания 141
§ 3.9. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба 145
§ 3.10. Асимптоты 148
§ 3.11. Общее исследование функции 152
§ 3.12. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений 160
§ 3.13. Дополнительные задачи 167
Глава IV. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования 171
§ 4.1. Непосредственное интегрирование и метод разложения 171
§ 4.2. Метод подстановки 175
§ 4.3. Интегрирование по частям 178
§ 4.4. Рекуррентные формулы 187
Глава V. Основные классы интегрируемых функций 190
§ 5.1. Интегрирование рациональных функций 190
§ 5.2. Интегрирование некоторых иррациональных выражений 195
§ 5.3. Подстановки Эйлера 198
§ 5.4. Другие методы интегрирования иррациональных выражений 200
§ 5.5. Интегрирование биномиального дифференциала 203
§ 5.6. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций 205
§ 5.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок 212
§ 5.8. Интегрирование других трансцендентных функций 214
§ 5.9. Обзор методов интегрирования (основных видов интегралов) 216
Глава VI. Определенный интеграл 221
§ 6.1. Понятие определенного интеграла 221
§ 6.2. Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона— Лейбница 229
§ 6.3. Оценки интеграла. Определенный интеграл как функция своих пределов 233
§ 6.4. Замена переменной в определенном интеграле 246
§ 6.5. Упрощение интегралов, основанное на свойствах симметрии подынтегральных функций 257
§ 6.6. Интегрирование по частям. Вывод рекуррентных формул 262
§ 6.7. Приближенное вычисление определенных интегралов 269
§ 6.8. Дополнительные задачи 273
Глава VII. Приложения определенного интеграла 276
§ 7.1. Вычисление пределов сумм с помощью определенных интегралов 276
§ 7.2. Вычисление средних значений функции 278
§ 7.3. Вычисление площадей в декартовых координатах 282
§ 7.4. Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы (контура) 291
§ 7.5. Площадь в полярных координатах 294
§ 7.6. Вычисление объемов тел 298
§ 7.7. Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах 306
§ 7.8. Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически 308
§ 7.9. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах 311
§ 7.10. Вычисление площади поверхности вращения 314
§ 7.11. Смешанные задачи на геометрические приложения определенного интеграла 319
§ 7.12. Вычисление давления, работы и других физических величин 326
§ 7.13. Вычисление статических моментов и моментов инерции. Определение координат центра тяжести 330
§ 7.14. Дополнительные задачи 339
Глава VIII. Несобственные интегралы 343
§ 8.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 343
§ 8.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 353
§ 8.3. Геометрические и физические приложения несобственных интегралов 364
§ 8.4. Дополнительные задачи 369
Ответы и указания 371