Что такое математика? Курант, Роббинс

Название: Что такое математика? 2001.
Автор: Р. Курант, Г. Роббинс
   Книга призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.
   Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.

   В последний год под воздействием совершающихся событий возник усиленный спрос на математическую информацию и соответствующий инструктивный материал. Сейчас больше чем когда-либо существует опасность выхолащивания и разочарований, если только учащиеся (и учителя) не сумеют увидеть и схватить то, что лежит за формулами и преобразованиями» - истинное существо и содержание математики. Именно для тех, кто видит глубже, была написана эта книга, и отклики на первое издание поддерживают в авторах надежду, что она принесет ПОЛЬЗУ.
   Благодарим читателей, чьи критические замечания позволили внести в новые издания многочисленные поправки и улучшения. За большую помощь в подготовке четвертого издания сердечно благодарим г-жу Наташу Артин.
Оглавление
Предисловие к изданию на русском языке
К русскому читателю
Предисловие
Как пользоваться книгой
Что такое математика?
Глава I. Натуральные числа
Введение
§ 1. Операции над целыми числами
1. Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с  помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.
§ 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая ин- дукция
1. Принцип математической индукции. 2.  Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма n первых квадратов. 5. Одно важное неравенство. 6. Биномиальная теорема. 7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.
Дополнение к главе I. Теория чисел
Введение
§ 1. Простые числа
1. Основные факты. 2. Распределение простых чисел.  а. Формулы, дающие простые числа. б. Простые числа в арифметических прогрессиях. в. Теорема о распределении простых чисел. г. Две еще не решенные задачи о простых числах.
§ 2. Сравнения
1. Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3.  Квадратические вычеты.
§ 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма
§ 4. Алгоритм Евклида
1. Общая теория. 2. Применение к основной теореме  арифметики. 3. Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.
Глава II. Математическая числовая система
Введение
§ 1. Рациональные числа
1. Рациональные числа как средство измерения. 2.  Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел.
§ 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы
1. Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и  бесконечные. 3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. 6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения.
§ 3. Замечания из области аналитической геометрии
1. Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых  линий.
§ 4. Математический анализ бесконечного
1. Основные понятия. 2. Счетность множества  рациональных чисел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Кантора. 4. Косвенный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики.
§ 5. Комплексные числа
1. Возникновение комплексных чисел. 2.  Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы. 4. Основная теорема алгебры.
§ 6. Алгебраические и трансцендентные числа
1. Определение и вопросы существования. 2. Теорема  Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.
Дополнение к главе II. Алгебра множеств
1. Общая теория. 2. Применение к математической  логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей.
Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей
Введение
Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра
§ 1. Основные геометрические построения
1. Построение полей и извлечение квадратных корней.  2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония.
§ 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля
1. Общая теория. 2. Все числа, допускающие  построение - алгебраические.
§ 3. Неразрешимость трех классических проблем
1. Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических  уравнениях. 3. Трисекция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга.
Часть 2. Различные методы выполнения построений
§ 4. Геометрические преобразования. Инверсия
1. Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3.  Геометрическое построение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля.
§ 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля
1. Классическая конструкция, служащая для удвоения  куба. 2. Построения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды. 4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.
§ 6. Еще об инверсии и ее применениях
1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2.  Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения.
Глава IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
§ 1. Введение
1. Классификация геометрических свойств.  Инвариантность при преобразованиях. 2. Проективные преобразования.
§ 2. Основные понятия
1. Группа проективных преобразований. 2. Теорема  Дезарга.
§ 3. Двойное отношение
1. Определение и доказательство инвариантности. 2.  Применение к полному четырехстороннику.
§ 4. Параллельность и бесконечность
1. «Идеальные» бесконечно удаленные точки. 2.  Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.
§ 5. Применения
1. Предварительные замечания. 2. Двумерное  доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля. 4. Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу двойственности.
§ 6. Аналитическое представление
1. Вводные замечания. 2. Однородные координаты.  Алгебраические основы двойственности.
§ 7. Задачи на построение с помощью одной линейки
§ 8. Конические сечения и квадрики
1. Элементарная метрическая геометрия конических  сечений. 2. Проективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как «линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. 5. Гиперболоид.
§ 9. Аксиоматика и нееклидова геометрия
1. Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая  неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений
1. Введение. 2. Аналитический подход. 3.  Геометрический, или комбинаторный, подход.
Глава V. Топология
Введение
§ 1. Формула Эйлера для многогранников
§ 2. Топологические свойства фигур
1. Топологические свойства. 2. Свойства связности.  
§ 3. Другие примеры топологических теорем
1. Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема  четырех красок. 3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы.
§ 4. Топологическая классификация поверхностей
1. Род поверхности. 2. Эйлерова характеристика  поверхности. 3. Односторонние поверхности.
Приложение.
1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для  случая многоугольников. 3. Основная теорема алгебры.
Глава VI. Функции и пределы
Введение
§ 1. Независимое переменное и функция
1. Определения и примеры. 2. Радианная мера углов.  3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность. 6. Функции нескольких переменных. 7. Функции и преобразования.
§ 2. Пределы
1. Предел последовательности a n . 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число  5. Непрерывные дроби.
§ 3. Пределы при непрерывном приближении
1. Введение. Общие определения. 2. Замечания по  поводу понятия предела. 3. Предел sinx/x. 4. Пределы при x -.
§ 4. Точное определение непрерывности
§ 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях
1. Теорема Больцано. 2. Доказательство теоремы  Больцано. 3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. 4. Теорема о последовательностях. Компактные множества.
§ 6. Некоторые применения теоремы Больцано
1. Геометрические применения. 2. Применение к одной  механической проблеме.
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность
§ 1. Примеры пределов
1. Общие замечания. 2. Предел q n. 3. Предел . 4. Разрывные функции как предел непрерывных. 5. Пределы при итерации.
§ 2. Пример, относящийся к непрерывности
Глава VII. Максимумы и минимумы
Введение
§ 1. Задачи из области элементарной геометрии
1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных  сторонах. 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства. 5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.
§ 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи
1. Принцип. 2. Примеры.  
§ 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление
1. Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы  и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности.
§ 4. Треугольник Шварца
1. Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое  доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, образованные световыми лучами. 5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.
§ 5. Проблема Штейнера
1. Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих  возможностей. 3. Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. 5. Обобщение: проблема уличной сети.
§ 6. Экстремумы и неравенства
1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое  двух положительных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. 3. Метод наименьших квадратов.
§ 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле
1. Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные  проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.
§ 8. Изопериметрическая проблема
§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой
§ 10. Вариационное исчисление
1. Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип  Ферма в оптике. 3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. 4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы.
§ 11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками
1. Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые  опыты, относящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения других математических проблем.
Глава VIII. Математический анализ
Введение
§ 1. Интеграл
1. Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие  замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr. 5. Правила «интегрального исчисления».
§ 2. Производная
1. Производная как наклон. 2. Производная как  предел. 3. Примеры. 4. Производные от тригонометрических функций. 5. Дифференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной. 8. Максимумы и минимумы.
§ 3. Техника дифференцирования
§ 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые»
§ 5. Основная теорема анализа
1. Основная теорема. 2. Первые применения.  Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для .
§ 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм
1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число  e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs. 4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.
§ 7. Дифференциальные уравнения
1. Определения. 2. Дифференциальное уравнение  экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты. 3. Другие примеры. Простые колебания. 4. Закон движения Ньютона.
Дополнение к главе VIII.
§ 1. Вопросы принципиального порядка
1. Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие  приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.
§ 2. Порядки возрастания
1. Показательная функция и степени переменного x. 2.  Порядок возрастания функции ln(n!).
§ 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения
1. Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x  + i sin x = eix. 3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения.
§4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения
Арифметика и алгебра
Аналитическая геометрия
Геометрические построения
Проективная и неевклидова геометрия
Топология
Функции, пределы, непрерывность
Максимумы и минимумы
Дифференциальное и интегральное исчисления
Техника интегрирования
Добавление 1. Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке
Добавление 2. О создании книги «Что такое математика?»
Рекомендуемая литература
Предметный указатель