Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Кудряшов Н.А., 2004

Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Кудряшов Н.А., 2004.
  Книга является введением в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных уравнений и посвящена анализу нелинейных математических моделей и динамических систем на предмет их точного решения (интегрируемости).
Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников, интересующихся нелинейными математическими моделями, теорией солитонов, методами построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теорией уравнений Пенлеве и их высших аналогов.

Уравнение Кортевега - де Вриза для описания волн на воде.
Явление распространения волн на поверхности воды издавна привлекало к себе внимание исследователей. Это пример волн, который каждый мог наблюдать еще в детстве и который обычно демонстрируется в рамках школьного курса физики. Однако, это довольно сложный тип волн. По выражению Ричарда Фейнмана «более неудачного примера для демонстрации волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все трудности, которые могут быть в волнах» [93].
Если рассмотреть бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие этого явления с течением времени и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по окружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы являются смесью тех и других. С глубиной, радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьшаются до тех пор, пока они не станут равными нулю [57, 66].
Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее амплитуды. Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного падения умноженному на сумму амплитуды волны и глубины бассейна. Причиной возникновения таких волн является сила тяжести.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 13
1.1 Уравнение Кортевега - де Вриза для описания волн на воде 13
1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега - де Вриза 23
1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс 26
1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 32
1.5 Фазовая и групповая скорости волн 35
1.6 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового пакета 39
1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением Шредингера и групповой солитон 42
1.8 Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом теле 44
1.9 Простейшие решения уравнения sin-Гордона и топологический солитон 48
1.10 Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса 51
1.11 Модель Хенона - Хейлеса 57
1.12 Система Лоренца 60
1.13 Задачи и упражнения к главе 1 68
Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 71
2.1 Классификация особых точек функций комплексной переменной 71
2.2 Неподвижные и подвижные особые точки 74
2.3 Уравнения, не имеющие решений с критическими подвижными особыми точками 76
2.4 Задача Ковалевской о волчке 82
2.5 Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве 85
2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического поля в полупроводниковом диоде 87
2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений 91
2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве 96
2.9 Метод Пенлеве для анализа дифференциальных уравнений 100
2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения Пенлеве 106
2.11 Неприводимость уравнений Пенлеве 111
2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве 113
2.13 Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве 114
2.14 Дискретные уравнения Пенлеве 116
2.15 Асимптотические решения первого и второго уравнений Пенлеве 118
2.16 Линейные представления уравнений Пенлеве 120
2.17 Алгоритм Конта - Форди - Пикеринга для проверки уравнений на свойство Пенлеве 122
2.18 Примеры анализа уравнений методом возмущений Пенлеве 125
2.19 Тест Пенлеве для системы уравнений Хенона-Хейлеса 128
2.20 Точно решаемые случаи системы Лоренца 131
2.21 Задачи и упражнения к главе 2 135
Глава 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 138
3.1 Интегрируемые системы 138
3.2 Преобразование Коула - Хопфа для уравнения Бюргерса 141
3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Корте-вега - де Вриза 144
3.4 Законы сохранения для уравнения Кортевега - де Вриза 146
3.5 Отображения и преобразования Бэклунда 149
3.6 Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона 151
3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега - де Вриза 153
3.8 Семейство уравнений Кортевега - де Вриза 155
3.9 Семейство уравнений АКНС 157
3.10 Тест Абловица - Рамани - Сигура для нелинейных уравнений в частных производных 160
3.11 Метод Вайса - Табора - Карневейля для анализа нелинейных уравнений 163
3.12 Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом ВТК 165
3.13 Анализ уравнения Кортевега - де Вриза 168
3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза методом ВТК 169
3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 171
3.16 Усеченные разложения, как отображения решений нелинейных уравнений 172
3.17 Инвариантный пенлеве-анализ 174
3.18 Применение инвариантного пенлеве-анализа для нахождения пар Лакса 176
3.19 Соотношения между основными точно решаемыми нелинейными уравнениями 179
3.20 Семейство уравнений Бюргерса 187
3.21 Задачи и упражнения к главе 3 189
Глава 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 193
4.1 Применение усеченных разложений для построения частных решений неинтегрируемых уравнений 193
4.2 Точные решения уравнения Бюргерса - Хаксли 197
4.3 Частные решения уравнения Бюргерса - Кортевега - де Вриза 205
4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото - Сивашинского 208
4.5 Кноидальные волны, описываемые уравнением Курамото - Сивашинского 215
4.6 Частные решения простейшего нелинейного волнового уравнения пятого порядка 217
4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде 220
4.8 Решения уравнения Кортевега - де Вриза пятого порядка в переменных бегущей волны 230
4.9 Точные решения модели Хенона - Хейлеса 235
4.10 Метод нахождения рациональных решений некоторых точно решаемых нелинейных уравнений 237
4.11 Задачи и упражнения к главе 4 241
Глава 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ И ИХ СВОЙСТВА 244
5.1 Анализ уравнений четвертого порядка на свойство Пенлеве 244
5.2 Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест Пенлеве 251
5.3 Трансценденты, определяемые нелинейными уравнениями четвертого порядка 253
5.4 Локальные представления решений для уравнений четвертого порядка 258
5.5 Асимптотические свойства трансцендент уравнений четвертого порядка 264
5.6 Семейства уравнений с решениями в виде трансцендент 266
5.7 Пары Лакса для уравнений четвертого порядка 271
5.8 Обобщения уравнений Пенлеве 277
5.9 Преобразования Бэклунда для высших аналогов уравнений Пенлеве 284
5.10 Рациональные и специальные решения высших аналогов уравнений Пенлеве 291
5.11 Дискретные уравнения, соответствующие высшим аналогам уравнений Пенлеве 295
5.12 Задачи и упражнения к главе 5 304
ГЛАВА 6. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА 306
6.1 Задача Коши для уравнения Кортевега - де Вриза 306
6.2 Прямая задача рассеяния 307
6.3 Интегральный вид стационарного уравнения Шредингера 313
6.4 Аналитические свойства амплитуды рассеяния 315
6.5 Уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко 318
6.6 Интегрирование методом обратной задачи рассеяния уравнения Кортевега - де Вриза 321
6.7 Решение уравнения Кортевега - де Вриза в случае безотражательных потенциалов 323
6.8 Оператор Хироты и его свойства 326
6.9 Нахождение солитонных решений уравнения Кортевега - де Вриза методом Хироты 327
6.10 Метод Хироты для модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 331
6.11 Задачи и упражнения к главе 6 333
Литература 337
Предметный указатель.