Аналитическая геометрия в примерах и задачах, Резниченко С.В., 2001

Аналитическая геометрия в примерах и задачах, Резниченко С.В., 2001.
   Книга посвящена алгебраическим главам курса аналитической геометрии: векторному исчислению и его применению к решению геометрических задач, теории матриц и определителей и ее применениям к исследованию систем линейных уравнений. Рассмотрены линейные операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, связь векторов с комплексными числами, операции над матрицами, свойства и приемы вычисления определителей, различные методы решения линейных систем.
Для студентов вузов, обучающихся по физико-математическим специальностям.

Примеры.
Докажите, что вычисление ранга симметрической матрицы сводится к вычислению одних только главных миноров, т.е. миноров, стоящих в строках и столбцах с соответственно равными номерами. Именно, докажите, что:
1) если в симметрической матрице А порядка п имеется главный минор Мr порядка г, отличный от нуля, для которого все окаймляющие его главные миноры (r + 1)-го и (r + 2)-го порядков равны нулю, то ранг матрицы А равен r (если все главные миноры равны нулю, то можно считать главный минор нулевого порядка М0 равным 1, и теорема останется верной; при r = n-1 миноров порядка r + 2 не существует, но утверждение теоремы верно, ибо ранг А равен n - 1);
2) ранг симметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы.
Докажите, что ранг кососимметрической матрицы определяется ее главными минорами. Именно:
1) если существует главный минор порядка r, отличный от нуля, для которого все окаймляющие его главные миноры порядка r + 2 равны 0, то ранг матрицы равен r;
2) ранг кососимметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Раздел 1. Векторная алгебра
Глава 1. Некоторые сведения из элементарной геометрии
§1. Необходимые определения и обозначения
§2. Преобразование подобия. Перемещение
§3. Направленный отрезок. Параллельный перенос
§4. Сложение направленных отрезков. Композиция параллельных переносов
§5. Умножение направленного отрезка на число
Глава 2. Векторы. Линейные операции над векторами
§1. Основные определения
§2. Сумма векторов. Разность векторов
§3. Умножение вектора на число. Признак коллинеарности векторов. Векторное параметрическое уравнение прямой. Деление отрезка в заданном отношении
§4. Матрицы, определители, системы линейных уравнений (случаи n=2 и n=3)
§5. Признак компланарности векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису. Необходимые и достаточные условия коллинеарности и компланарности векторов. Векторное параметрическое уравнение плоскости
§6. Система координат. Координаты точки в системе координат. Деление отрезка в заданном отношении. Координатные уравнения прямой и плоскости
§7. Формулы перехода от одной системы координат к другой
§8. Параллельное проецирование
§9. Некоторые примеры
Глава 3. Скалярное произведение векторов
§1. Угол между векторами. Определение скалярного произведения векторов. Теорема косинусов
§2. Свойства скалярного произведения
§3. Ортогональное проецирование в пространстве. Нормальное векторное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой в пространстве
§4. Ортонормированный базис. Прямоугольная декартова система координат. Нормальное уравнение прямой до плоскости. Ортогональное проецирование на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве
Глава 4. Ориентация на плоскости и в пространстве
§1. Поворот плоскости
§2. Полярные координаты на плоскости
§3. Переход от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой
§4. Ориентация тройки векторов
§5. Цилиндрические и сферические координаты точки в пространстве
Глава 5. Комплексные числа и векторы на плоскости
§1 . Комплексные числа и действия над ними
§2. Свойства действий над комплексными числами
§3. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел
§4. Геометрические интерпретации комплексных чисел. Интерпретация I
§5. Геометрические интерпретации комплексных чисел. Интерпретация II
Глава 6. Векторное произведение векторов
§1. Определение и свойства векторного произведения. Условие коллинеарности векторов
§2. Площадь параллелограмма, треугольника, четырех угольника
§3. Двойное векторное произведение. Векторное уравнение прямой в пространстве. Нормальный вектор плоскости
Глава 7. Смешанное произведение векторов
§1. Определение и свойства смешанного произведения. Объем ориентированного параллелепипеда. Объем тетраэдра
§2. Выражение сметанного произведения через компоненты сомножителей. Условие компланарности трех векторов. Координатное уравнение плоскости
§3. Взаимный базис
§4. Векторные задачи на прямую и плоскость Задачи для самостоятельного решения Дополнение
Раздел 2. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
Глава 1. Матрицы и действия над ними
§1. Определение матрицы. Столбцы и строки
§2. Сложение матриц и умножение матрицы на число
§3. Умножение матриц
§4. Транспонирование матриц
Глава 2. Определители (детерминанты) квадратных матриц
§1. Перестановки и подстановки
§2. Определение детерминанта (определителя) порядка n
§3. Свойства определителей
§4. Элементарные преобразования. Разложение определителя по строке (столбцу). Вычисление определителей
§5. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Определитель произведения двух квадратных матриц. Теорема Бине-Коши
§6. Обратная матрица. Многочлены от квадратных матриц. Теорема Гамильтона-Кэли
Глава 3. Ранг матрицы
§1. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов)
§2. Теорема о ранге матрицы. Различные способы вычисления ранга матрицы
Глава 4. Системы линейных уравнений
§1. Правило Крамера
§2. Метод Гаусса
§3. Критерии совместности системы линейных уравнений
§4. Структура множества решений системы линейных уравнений Задачи для самостоятельного решения Предметный указатель.