Аналитическая геометрия и линейная алгебра, Умнов А.Е., 2011

Аналитическая геометрия и линейная алгебра, Умнов А.Е., 2011.
   Учебное пособие предназначено для студентов физических и технических специальностей университетов и ВУЗов, является введением в теорию линейных пространств, состав и упорядочение материала которого определен ориентацией на прикладной характер специализации читателя. Пособие написано на основе лекций, читавшихся автором студентам МФТИ.
В нем представлены как традиционные разделы аналитической геометрии, теории матриц, теории линейных систем и конечномерных векторных пространств, так и некоторые дополнительные разделы линейной алгебры, важные для студентов физических специальностей.
   Отличительной чертой системы подготовки специалистов в Московском физико-техническом институте - "Школы Физтеха", является сочетание интенсивности обучения с высоким уровнем детализации и глубины изучаемых предметов, в первую очередь естественных наук. Кафедра высшей математики МФТИ как важный элемент этой системы с момента образования института продолжает вносить существенный вклад в ее формирование и совершенствование.
В активе кафедры колоссальный опыт в виде учебных курсов, оригинальных лекций по многим разделам современной математики, системы заданий, методических разработок, приемов, внутрикафедральных материалов, наконец педагогического фольклора. На кафедре сформировался коллектив преподавателей, педагогически одаренных и обладающих педагогическим мастерством. Поэтому вполне естественно стремление сделать этот опыт всеобщим достоянием.
Многое уже отражено в известных учебниках, задачниках, созданных выдающимися математиками и педагогами, среди которых В.С. Владимиров, С.М. Никольский, Л.Д.Кудрявцев, М.В. Федорюк и многие другие. Без сомнения, эти ставшие уже классическими учебные пособия оказали и оказывают существенное влияние на математическое образование как в России, так и за ее пределами.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 8
От автора 10
Глава 1. Векторы и линейные операции с ними 12
§1.1. Матричные объекты 12
§1.2. Направленные отрезки 21
§1.3. Определение множества векторов 24
§1.4. Линейная зависимость векторов 28
§1.5. Базис. Координаты вектора в базисе 34
§ 1.6. Действия с векторами в координатном представлении 38
§1.7. Декартова система координат 44
§ 1.8. Изменение координат при замене базиса и начала координат 47
Глава 2. Произведения векторов 54
§2.1. Ортогональное проектирование 54
§ 2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства 57
§ 2.3. Выражение скалярного произведения в координатах 59
§ 2.4. Векторное произведение векторов и его свойства 61
§ 2.5. Выражение векторного произведения в координатах 65
§ 2.6. Смешанное произведение 68
§ 2.7. Выражение смешанного произведения в координатах 70
§ 2.8. Двойное векторное произведение 72
§ 2.9. Замечания об инвариантности произведений векторов 75
Глава 3. Прямая и плоскость 79
§ 3.1. Прямая на плоскости 79
§3.2. Способы задания прямой на плоскости 84
§ 3.3. Плоскость в пространстве 93
§3.4. Способы задания прямой в пространстве 103
§ 3.5. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 107
Глава 4. Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 119
§4.1. Линии на плоскости и в пространстве 119
§4.2. Поверхности в пространстве 124
§4.3. Цилиндрические и конические поверхности 127
§4.4. Линии второго порядка на плоскости 130
§ 4.5. Поверхности второго порядка в пространстве 138
§4.6. Альтернативные системы координат 141
Глава 5. Преобразования плоскости 147
§ 5.1. Произведение матриц 147
§ 5.2. Операторы и функционалы. Отображения и преобразования плоскости 158
§5.3. Линейные операторы на плоскости 161
§5.4. Аффинные преобразования и их свойства 169
§5.5. Ортогональные преобразования плоскости 184
§ 5.6. Понятие группы 189
Глава 6. Системы линейных уравнений 191
§ 6.1 Определители 191
§ 6.2 Свойства определителей 192
§ 6.3. Разложение определителей 199
§ 6.4. Правило Крамера 205
§ 6.5. Ранг матрицы 208
§ 6.6. Системы т линейных уравнений с п неизвестными 213
§6.7. Фундаментальная система решений 216
§ 6.8. Элементарные преобразования. Метод Гаусса 227
Глава 7. Линейное пространство 235
§7.1. Определение линейного пространства 235
§ 7.2. Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве 239
§7.3. Подмножества линейного пространства 244
§ 7.4. Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении 251
§ 7.5. Изоморфизм линейных пространств 254
Глава 8 Линейные зависимости в линейном пространстве 267
§ 8.1. Линейные операторы 267
§ 8.2. Действия с линейными операторами 269
§ 8.3. Координатное представление линейных операторов 275
§ 8.4. Область значений и ядро линейного оператора 283
§ 8.5. Инвариантные подпространства и собственные векторы 296
§ 8.6. Свойства собственных векторов и собственных значений 303
§ 8.7. Линейные функционалы 317
Глава 9. Нелинейные зависимости в линейном пространстве 325
§9.1. Билинейные функционалы 325
§9.2. Квадратичные функционалы 329
§ 9.3. Исследование знака квадратичного функционала 339
§ 9.4. Инварианты линий второго порядка на плоскости 348
§ 9.5. Экстремальные свойства квадратичных функционалов 353
§ 9.6. Полилинейные функционалы 354
Глава 10. Евклидово пространство 356
§10.1. Определение и основные свойства 356
§ 10.2. Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса 360
§ 10.3. Координатное представление скалярного произведения 362
§ 10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве 368
§ 10.5. Ортогональные дополнения и ортогональные проекции в евклидовом пространстве 372
§ 10.6. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве 378
§10.7. Самосопряженные операторы 383
§ 10.8. Ортогональные операторы 391
Глава 11. Унитарное пространство 400
§ 11.1. Определение унитарного пространства 400
§ 11.2. Линейные операторы в унитарном пространстве 403
§ 11.3. Эрмитовы операторы 405
§ 11.4. Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия эрмитова оператора 410
§11.5. Соотношение неопределенностей 413
Глава 12. Прикладные задачи линейной алгебры 415
§ 12.1. Приведение квадратичных функционалов к диагональному виду 415
§12.2. Классификация поверхностей второго порядка 431
§12.3. Аппроксимация функций многочленами 435
Приложение 1. Свойства линий второго порядка на плоскости 443
§ Прил. 1.1 Вырожденные линии второго порядка 443
§ Прил. 1.2 Эллипс и его свойства 445
§ Прил. 1.3. Гипербола и ее свойства 452
§ Прил. 1.4. Парабола и ее свойства 459
Приложение 2. Свойства поверхностей второго порядка 465
§ Прил. 2.1. Вырожденные поверхности второго порядка 465
§ Прил. 2.2. Эллипсоид 466
§ Прил. 2.3. Эллиптический параболоид 467
§ Прил. 2.4. Гиперболический параболоид 469
§ Прил. 2.5. Однополостный гиперболоид 472
§ Прил. 2.6. Двуполостный гиперболоид 474
§ Прил. 2.7. Поверхности вращения 475
Приложение 3. Комплексные числа 478
Приложение 4. Элементы тензорного исчисления 488
§ Прил. 4.1. Замечания об определении объектов в линейном пространстве 488
§ Прил. 4.2. Определение и обозначение тензоров 496
§ Прил. 4.3. Операции с тензорами 504
§ Прил. 4.4. Тензоры в евклидовом пространстве 515
§ Прил. 4.5. Тензоры в ортонормированном базисе 520
Список литературы 528
Предметный указатель 529