Аналитическая геометрия и линейная алгебра, Умнов А.Е., 2004

Аналитическая геометрия и линейная алгебра, Умнов А.Е., 2004.
  Книга предназначена для студентов физических и технических специальностей университетов и ВУЗов, является введением в теорию линейных пространств, состав и упорядочение материала которого определен ориентацией на прикладной характер специализации читателя. Книга написана на основе лекций, читавшихся автором студентам МФТИ.

Векторы и линейные операции с ними.
заведомо бессмысленное значение 500/2 = 700 ам./час. Отсюда следует, что хотя поток автомашин характеризуется числовым значением и направлением, но, тем не менее, вектором (в смысле определения 1.3.1.) не является.
2°. С другой стороны, необходимо иметь в виду, что данное определение множества векторов 1.3.1. допускает их дальнейшую, более тонкую дифференциацию. Например, в некоторых физических и технических приложениях различают векторы полярные и аксиальные. К первым относятся, например, векторы скорости, силы, напряженности электрического поля; ко вторым - векторы момента силы, напряженности магнитного поля. Кроме того, в механике векторы подразделяются на свободные, скользящие и закрепленные, в зависимости от той роли, которую играет точка их приложения.
3°. К заключению о векторной природе тех или иных физических характеристик можно прийти путем рассуждений, основанных на определении 1.3.1. и экспериментальных данных.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 8
От автора 10
Глава 1. Векторы и линейные операции с ними 12
§1.1. Матричные объекты 12
§1.2. Направленные отрезки 21
§1.3. Определение множества векторов 24
§1.4. Линейная зависимость векторов 28
§1.5. Базис. Координаты вектора в базисе 34
§1.6. Действия с векторами в координатном представлении 38
§1.7. Декартова система координат 44
§1.8. Изменение координат при замене базиса и начала координат 47
Глава 2. Произведения векторов 54
§2.1. Ортогональное проектирование 54
§2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства 57
§2.3. Выражение скалярного произведения в координатах 59
§2.4. Векторное произведение векторов и его свойства 61
§2.5. Выражение векторного произведения в координатах 65
§2.6. Смешанное произведение 68
§2.7. Выражение смешанного произведения в координатах 70
§2.8. Двойное векторное произведение 72
§2.9. Замечания об инвариантности произведений векторов 75
Глава 3. Прямая и плоскость 79
§3.1. Прямая на плоскости 79
§3.2. Способы задания прямой на плоскости 84
§3.3. Плоскость в пространстве 93
§3.4. Способы задания прямой в пространстве 103
§3.5. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 107
Глава 4. Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 119
§4.1. Линии на плоскости и в пространстве 119
§4.2. Поверхности в пространстве 124
§4.3. Цилиндрические и конические поверхности 127
§4.4. Линии второго порядка на плоскости 130
§4.5. Поверхности второго порядка в пространстве 138
§4.6. Альтернативные системы координат 141
Глава 5. Преобразования плоскости 147
§5.1. Произведение матриц 147
§5.2. Операторы и функционалы. Отображения и преобразования плоскости 158
§5.3. Линейные операторы на плоскости 161
§5.4. Аффинные преобразования и их свойства 169
§5.5. Ортогональные преобразования плоскости 184
§5.6. Понятие группы 189
Глава 6. Системы линейных уравнений 191
§6.1 Определители 191
§6.2 Свойства определителей 192
§6.3. Разложение определителей 199
§6.4. Правило Крамера 205
§6.5. Ранг матрицы 208
§6.6. Системы m линейных уравнений с n неизвестными 213
§6.7. Фундаментальная система решений 216
§6.8. Элементарные преобразования. Метод Гаусса 227
Глава 7. Линейное пространство 235
§7.1. Определение линейного пространства 235
§7.2. Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве 239
§7.3. Подмножества линейного пространства 244
§7.4. Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении 251
§7.5. Изоморфизм линейных пространств 254
Глава 8 Линейные зависимости в линейном пространстве 267
§8.1. Линейные операторы 267
§8.2. Действия с линейными операторами 269
§8.3. Координатное представление линейных операторов 275
§8.4. Область значений и ядро линейного оператора 283
§8.5. Инвариантные подпространства и собственные векторы 296
§8.6. Свойства собственных векторов и собственных значений 303
§8.7. Линейные функционалы 317
Глава 9. Нелинейные зависимости в линейном пространстве 325
§9.1. Билинейные функционалы 325
§9.2. Квадратичные функционалы 329
§9.3. Исследование знака квадратичного функционала 339
§9.4. Инварианты линий второго порядка на плоскости 348
§9.5. Экстремальные свойства квадратичных функционалов 353
§9.6. Полилинейные функционалы 354
Глава 10. Евклидово пространство 356
§10.1. Определение и основные свойства 356
§10.2. Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса 360
§10.3. Координатное представление скалярного произведения 362
§10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве 368
§10.5. Ортогональные дополнения и ортогональные проекции в евклидовом пространстве 372
§10.6. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве 378
§10.7. Самосопряженные операторы 383
§10.8. Ортогональные операторы 391
Глава 11. Унитарное пространство 400
§11.1. Определение унитарного пространства 400
§11.2. Линейные операторы в унитарном пространстве 403
§11.3. Эрмитовы операторы 405
§11.4. Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия эрмитова оператора 410
§11.5. Соотношение неопределенностей 413
Глава 12. Прикладные задачи линейной алгебры 415
§12.1. Приведение квадратичных функционалов к диагональному виду 415
§12.2. Классификация поверхностей второго порядка 431
§12.3. Аппроксимация функций многочленами 435
Приложение 1. Свойства линий второго порядка на плоскости 443
§Прил. 1.1 Вырожденные линии второго порядка 443
§Прил. 1.2 Эллипс и его свойства 445
§Прил. 1.3. Гипербола и ее свойства 452
§Прил. 1.4. Парабола и ее свойства 459
Приложение 2. Свойства поверхностей второго порядка 465
§Прил. 2.1. Вырожденные поверхности второго порядка 465
§Прил. 2.2. Эллипсоид 466
§Прил. 2.3. Эллиптический параболоид 467
§Прил. 2.4. Гиперболический параболоид 469
§Прил. 2.5. Однополостный гиперболоид 472
§Прил. 2.6. Двуполостный гиперболоид 474
§Прил. 2.7. Поверхности вращения 475
Приложение 3. Комплексные числа 478
Приложение 4. Элементы тензорного исчисления 488
§Прил. 4.1. Замечания об определении объектов в линейном пространстве 488
§Прил. 4.2. Определение и обозначение тензоров 496
§Прил. 4.3. Операции с тензорами 504
§Прил. 4.4. Тензоры в евклидовом пространстве 515
§Прил. 4.5. Тензоры в ортонормированном базисе 520
Список литературы 528
Предметный указатель 529.