Алгебра, Ван дер Варден Б.Л.

Алгебра, Ван дер Варден Б.Л.
  Современная алгебра, берущая свое начало в замечательных работах Гильберта конца прошлого века, сложилась в общих чертах в 20-е годы. Итогом этого периода становления явилось первое издание настоящей книги, вышедшее в 1931 году. Хотя с тех пор передний край алгебраических исследований продвинулся далеко, книга и сейчас выглядит свежо и современно, — правда, уже не как свод новейших результатов и понятий, а как отличный учебник основ алгебры. Эволюция книги от издания к изданию хорошо отражена в предисловиях автора.

Множества.
В качестве отправного пункта всех математических рассмотрений мы мыслим себе некоторые доступные представлению объекты, как-то: цифры, буквы или их комбинации. Свойство, которым обладает или не обладает каждый такой объект в отдельности, приводит к понятию множества или класса; элементы множества — это те самые объекты, которые обладают данным свойством. Символическая запись
а € М
означает: а — элемент множества М. Пользуясь образным геометрическим языком, говорят также: а лежит в М. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.
Мы допускаем рассмотрение последовательностей и множеств чисел (или букв и т. д.) как элементов или объектов новых множеств (называемых иногда множествами второй ступени). Множества второй ступени снова могут служить элементами множеств более высокой ступени и т. д., однако мы остерегаемся употреблять понятия типа «множество всех множеств», так как они приводят к противоречиям; наоборот, мы будем строить новые множества из объектов некоторой заранее очерченной категории (которой новые множества еще не принадлежат).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 9
Из предисловий автора 10
Схема зависимости глав 14
Введение 15
Глава первая ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
§1. Множества 17
§2. Отображения. Мощности 19
§3. Натуральный ряд 20
§4. Конечные и счетные множества 24
§5. Разбиение на классы 26
Глава вторая ГРУППЫ
§6. Понятие группы 28
§7. Подгруппы 35
§8. Операции над комплексами. Смежные классы 39
§9. Изоморфизмы и автоморфизмы 42
§10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы 45
Глава третья КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
§11. Кольца 49
§12. Гомоморфизмы и изоморфизмы 56
§13. Построение частных 57
§14. Кольца многочленов 60
§15. Идеалы. Кольца классов вычетов 64
§16. Делимость. Простые идеалы 69
§17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов 71
§18. Разложение на множители 75
Глава четвертая ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§19. Векторные пространства 80
§20. Инвариантность размерности 83
§21. Двойственное векторное пространство 86
§22. Линейные уравнения над телом 88
§23. Линейные преобразования 90
§24. Тензоры 95
§25. Антисимметрические полилинейные формы и определители 97
§26. Тензорное произведение, свертка и след 102
Глава пятая ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§27. Дифференцирование 105
§28. Корни 106
§29. Интерполяционные формулы 108
§30. Разложение на множители 113
§31. Признаки неразложимости 117
§32. Разложение на множители в конечное число шагов 119
§33. Симметрические функции 121
§34. Результант двух многочленов 124
§35. Результант как симметрическая функция корней 128
§36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби 131
Глава шестая ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
§37. Подтело. Простое тело 134
§38. Присоединение 136
§39. Простые расширения 138
§40. Конечные расширения тел 143
§41. Алгебраические расширения 145
§42. Корни из единицы 150
§43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела) 155
§44. Сепарабельные и несепарабельные расширения 159
§45. Совершенные и несовершенные поля 164
§46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе 165
§47. Нормы и следы 167
Глава седьмая ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
§48. Группы с операторами 171
§49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы 173
§51. Нормальные и композиционные ряды 176
§52. Группы порядка р" 180
§53. Прямые произведения 181
§54. Групповые характеры 184
§55. Простота знакопеременной группы 189
§56. Транзитивность и примитивность 191
Глава восьмая ТЕОРИЯ ГАЛУА
§57. Группа Галуа 194
§58. Основная теорема теории Галуа 197
§59. Сопряженные группы, поля и элементы поля 200
§60. Поля деления круга 202
§61. Циклические поля и двучленные уравнения 209
§62. Решение уравнений в радикалах 211
§63. Общее уравнение n-й степени 215
§64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней 218
§65. Построения с помощью циркуля и линейки 224
§66. Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой 229
§67 Нормальные базисы 232
Глава девятая УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§68. Упорядоченные множества 237
§69. Аксиома выбора и лемма Цорна  238
§70. Теорема Цермело  241
§71. Трансфинитная индукция  242
Глава десятая БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
§72. Алгебраически замкнутые поля 244
§73. Простые трансцендентные расширения 250
§74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость 254
§75. Степень трансцендентности 257
§76. Дифференцирование алгебраических функций 259
Глава одиннадцатая ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
§77. Упорядоченные поля 266
§78. Определение вещественных чисел 269
§79. Корни вещественных функций 278
§80. Поле комплексных чисел 282
§81. Алгебраическая теория вещественных полей 285
§82. Теоремы существования для формально вещественных полей 290
§83 Суммы квадратов 294
Глава двенадцатая ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§84. Модули над произвольным кольцом 297
§85. Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители 299
§86. Основная теорема об абелевых группах 303
§87. Представления и модули представлений 307
§88. Нормальные формы матрицы над полем 311
§89. Элементарные делители и характеристическая функция 314
§90. Квадратичные и эрмитовы формы 317
§91. Антисимметрические билинейные формы 326
Глава тринадцатая АЛГЕБРЫ
§92. Прямые суммы и пересечения 331
§93. Примеры алгебр 334
§94. Произведения и скрещенные произведения 340
§95. Алгебры как группы с операторами. Модули и представления 347
§96. Малый и большой радикалы 351
§97. Звездное произведение 355
§98. Кольца с условием минимальности 357
§99. Двусторонние разложения и разложение центра 362
§100. Простые и примитивные кольца 365
§101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы 368
§102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах 371
§103. Поведение алгебр при расширении основного поля 372
Глава четырнадцатая ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
§104. Постановка задачи 378
§105. Представления алгебр 379
§106. Представления центра 384
§107. Следы и характеры 386
§108. Представления конечных групп 388
§109. Групповые характеры 392
§110. Представления симметрических групп 398
§111. Полугруппы линейных преобразований 401
§112. Двойные модули и произведения алгебр 404
§113. Поля разложения простых алгебр 410
§114. Группа Брауэра. Системы факторов 413
Глава пятнадцатая ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
§115. Нётеровы кольца 421
§116. Произведения и частные идеалов 425
§117. Простые идеалы и примарные идеалы 429
§118. Общая теорема о разложении 434
§119. Теорема единственности 438
§120. Изолированные компоненты и символические степени 441
§121. Теория взаимно простых идеалов 444
§122. Однократные идеалы 447
§123. Кольца частных 450
§124. Пересечение всех степеней идеала 452
§125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеровых кольцах 455
Глава шестнадцатая ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
§126. Алгебраические многообразия 459
§127. Универсальное поле 462
§128. Корни простого идеала 463
§129. Размерность 466
§130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для однородных уравнений 468
§131. Примарные идеалы 471
§132. Основная теорема Нётера 474
§133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным 478
Глава семнадцатая ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§134. Конечные R-модули 482
§135. Элементы, целые над кольцом 484
§136. Целые элементы в поле 487
§137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов 493
§138. Обращение и дополнение полученных результатов 496
§139. Дробные идеалы 499
§140. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах 501
Глава восемнадцатая НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
§141. Нормирования 509
§142. Пополнения 515
§143. Нормирования поля рациональных чисел 521
§144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного поля 524
§145. Нормирование алгебраических расширений: общий случай 531
§146. Нормирования полей алгебраических чисел 633
§147. Нормирования поля рациональных функций D(х) 539
§148. Аппроксимационная теорема 542
Глава девятнадцатая АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих 545
§150. Дивизоры и их кратные 550
§151. Род g 554
§152. Векторы и ковекторы 557
§153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности 560
§154. Теорема Римана—Роха 564
§155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей 568
§156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае 569
§157. Доказательство теоремы о вычетах 574
Глава двадцатая ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
§158. Понятие топологического пространства 580
§159. Базисы окрестностей 581
§160. Непрерывность. Пределы 583
§161. Аксиомы отделимости и счетности 584
§162. Топологические группы 585
§163. Окрестности единицы 586
§164. Подгруппы и факторгруппы 588
§165. Т-кольца и Т-тела 589
§166. Пополнение групп с помощью фундаментальных последовательностей 591
§167. Фильтры 595
§168. Пополнение группы с помощью фильтров Коши 598
§169. Топологические векторные пространства 602
§170. Пополнение колец 604
§171. Пополнение тел 606
Предметный указатель 608.