Алгебра, Углубленный курс с решениями и указаниями, Золотарёва Н.Д., Попов Ю.А., Сазонов В.В., Федотов М.В., 2011

Алгебра, Углубленный курс с решениями и указаниями, Золотарёва Н.Д., Попов Ю.А., Сазонов В.В., Федотов М.В., 2011.
  Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ имени М.В. Ломоносова и задач единого государственного экзамена преподавателями факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие ВУЗы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Целые числа. Делимость и остатки.
Теоретический материал
При решении задач на целые числа необходимо знать следующие факты:
• любое натуральное число единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей) может быть представлено в виде произведения простых чисел;
• при делении натурального числа р на натуральное число q возможны q различных остатков: 0,1,2,..., (q — 1).
Полезно также помнить признаки делимости натуральных чисел:
• при делении на 5 и на 10 число даёт такой же остаток, как и последняя его цифра;
• при делении на 4, 25, 50 и на 100 число даёт такой же остаток, как и число, записанное двумя его последними цифрами;
• при делении на 3 и на 9 число даёт такой же остаток, как и сумма его цифр. Поэтому, если сумма цифр делится на 3 или на 9, то и само число делится на 3 или на 9.
Заметим, что при изучении делимости чисел достаточно работать не с самими числами, а с остатками от деления этих чисел. Все арифметические действия с остатками, кроме деления, повторяют действия с числами, а именно: при сложении чисел складываются остатки, при возведении в степень в эту степень возводятся остатки и т.д.
В задачах, где требуется установить, что какое-то выражение, зависящее от натурального числа n, делится или не делится при всех п на заданное натуральное число, часто используется следующий факт: произведение к последовательных натуральных чисел делится на k.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора 6
Предисловие 7
Часть I: Теория и задачи 9
1. Элементы теории чисел 9
1.1. Целые числа. Делимость и остатки 9
1.2. Уравнения в целых числах 11
1.3. Смешанные задачи на целые числа 14
1.4. Рациональные и иррациональные числа 17
1.5. Сравнение чисел 19
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции 23
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражении с обратными тригонометрическими функциями 23
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями 27
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства 30
2.4. Смешанные задачи 33
3. Полезные преобразования и замены переменных 34
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата 34
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах 39
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах 42
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах 46
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены 50
4. Нестандартные текстовые задачи 53
4.1. Недоопределённые задачи 53
4.2. Неравенства в текстовых задачах 56
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения 59
5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами 63
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета 63
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси 67
5.3. Смешанные задачи 73
6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций 75
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность 75
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности 78
6.3. Функциональные уравнения и неравенства 83
6.4. Использование графических иллюстраций 89
7. Метод оценок 95
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства 95
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства 98
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями 104
8. Задачи на доказательство 106
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство 106
8.2. Метод математической индукции 109
8.3. Доказательство неравенств и тождеств 111
9. Использование особенностей условия задачи 114
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной 114
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия 118
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия 123
9.4. Смешанные задачи 127
Часть II: Указания и решения 131
1. Элементы теории чисел 131
1.1. Целые числа. Делимость и остатки 131
1.2. Уравнения в целых числах 138
1.3. Смешанные задачи на целые числа 146
1.4. Рациональные и иррациональные числа 154
1.5. Сравнение чисел 159
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции 169
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями 169
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями 180
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства 191
2.4. Смешанные задачи 202
3. Полезные преобразования и замены переменных 218
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата 218
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах 236
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах 245
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах 259
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены 276
4. Нестандартные текстовые задачи 284
4.1. Недоопределённые задачи 284
4.2. Неравенства в текстовых задачах 293
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения 300
5. Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами 312
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета 312
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на числовой оси 322
5.3. Смешанные задачи 337
6. Использование различных свойств функций и графических иллюстраций 353
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность 353
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности 360
6.3. Функциональные уравнения и неравенства 375
6.4. Использование графических иллюстраций 392
7. Метод оценок 413
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства 413
7.2. - Тригонометрические уравнения и неравенства 422
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями 442
8. Задачи на доказательство 458
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство 458
8.2. Метод математической индукции 468
8.3. Доказательство неравенств и тождеств 477
9. Использование особенностей условия задачи 491
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной 491
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия 500
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия 511
9.4. Смешанные задачи 518
Ответы 527
Литература 536.