Алгебра, Том 2, Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А., 2003

Алгебра, Том 2, Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А., 2003.
   Учебник содержит полное и систематическое изложение материала, входящего в федеральный компонент дисциплины «Алгебра» Государственных образовательных стандартов по специальностям «Криптография» и «Компьютерная безопасность». В отличие от традиционных курсов высшей алгебры, изучаемых на математических факультетах университетов, данный курс характеризуется углубленным изучением дискретных алгебраических объектов: конечных колец, полей, линейных пространств, полугрупп преобразований, групп подстановок.
Том II, наряду с традиционным для математических специальностей материалом, содержит такие важные для специалистов по защите информации разделы, как теория конечных полей, многочлены над конечными полями, группы подстановок, определяющие соотношения групп, линейные рекуррентные последовательности над конечными полями и кольцами, графы линейных преобразований конечных пространств и др.

ПОДОБИЕ МАТРИЦ НАД ПОЛЕМ.
В предыдущей главе, рассматривая матрицы одного и того же линейного преобразования конечномерного векторного пространства в разных базисах, мы обнаружили, что они подобны. Наоборот, две подобные матрицы над полем можно считать матрицами одного и того же линейного преобразования некоторого пространства, заданными в разных его базисах.
В этой главе будет дан критерий подобия матриц над полем, не связанный с соответствующими им преобразованиями, и указан алгоритм решения вопроса о подобии матриц А, В € Рn,n и отыскания решений уравнения В = Х-1 АХ в случае, если матрицы А и В подобны.
Был также поставлен вопрос о том, какая из матриц, подобных данной матрице, имеет наиболее простой вид. В частности, были рассмотрены вопросы о подобии матрицы из Рn,n диагональной, полураспавшейся или распавшейся матрице. Здесь будут введены нормальные и жордановы матрицы и показано, что всякая матрица из Рn,п подобна матрице, имеющей нормальную форму, а матрица, характеристический многочлен которой раскладывается над полем Р на линейные множители, подобна матрице, имеющей жорданову форму.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава XIII. Векторные пространства 5
§ 1. Определение векторного пространства. Базис пространства 5
§ 2. Подпространства векторного пространства  12
§ 3. Изоморфизмы векторных пространств 16
§ 4. Конечномерные пространства 17
§ 5. Подпространства конечномерного пространства 20
§ 6. Факторпространства и многообразия 25
Задачи 29
Глава XIV. Системы линейных неравенств 31
§ 1. Некоторые свойства систем линейных уравнений 32
§ 2. Системы линейных неравенств и сведение их к системам линейных уравнений 35
§ 3. Критерий совместности системы линейных неравенств 38
§ 4. Системы однородных линейных неравенств 41
Задачи 42
Глава XV. Линейные преобразования векторных пространств 44
§ 1. Линейные отображения векторных пространств 44
§ 2. Линейные преобразования векторных пространств 50
§ 3. Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен линейного преобразования 55
§ 4. Многочлены, аннулирующие преобразование.
Минимальный многочлен 59
§ 5. Минимальный многочлен вектора относительно линейного преобразования 65
§ 6. Инвариантные подпространства. Циклические подпространства 69
§ 7. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств 75
Задачи 80
Глава XVI. Подобие матриц над полем 82
§ 1. Критерий подобия матриц над полем 82
§ 2. Каноническая форма полиномиальной матрицы 86
§ 3. Нормальные формы матриц над полем 92
§ 4. Жордановы матрицы 100
§ 5. Стохастические матрицы 105
Задачи 111
Глава XVII. Евклидовы пространства 113
§ 1. Евклидово вещественное пространство 113
§ 2. Ортогональные системы векторов, ортогонализация 117
§ 3. Ортогональные подпространства. Ортогональное дополнение. Расстояние между многообразиями 119
§ 4. Матрица Грама системы векторов. Описание всех скалярных произведений 122
§ 5. Изометричность евклидовых пространств 127
§ 6. Евклидово комплексное (унитарное) пространство 128
Задачи 131
Глава XVIII. Линейные преобразования конечномерных евклидовых пространств 134
§ 1. Преобразование, сопряженное к данному.
Самосопряженные и изометрические преобразования 134
§ 2. Нормальные преобразования 139
§ 3. Свойства самосопряженных преобразований 145
§ 4. Свойства изометрических преобразований 146
Задачи 149
Глава XIX. Квадратичные формы 152
§ 1. Общие свойства квадратичных форм. Канонический вид 152
§ 2. Квадратичные формы над полями действительных и комплексных чисел 159
Задачи 164
Глава XX. Элементы теории колец 167
§ 1. Подкольца и операции над ними 167
§ 2. Характеристика кольца 171
§ 3. Идеалы и операции над ними 172
§ 4. Простые кольца 176
§ 5. Конгруэнции и идеалы колец. Факторкольца 178
§ 6. Гомоморфизмы колец 182
§ 7. Разложение кольца в прямую сумму 187
§ 8. Замена подкольца изоморфным ему кольцом 191
Задачи 192
Глава XXI. Основы теории полей 195
§ 1. Подполя и расширения полей 195
§ 2. Поля частных 197
§ 3. Простые поля 202
§ 4. Классификация расширений поля 202
§ 5. Простые расширения полей 207
§ 6. Поля разложения многочлена 212
Задачи 216
Глава XXII. Конечные поля и многочлены над ними 218
§ 1. Основные свойства конечных полей 218
§ 2. Неприводимые многочлены над конечными полями 221
§ 3. Критерий неприводимости многочлена над конечным полем 223
§ 4. Число неприводимых многочленов данной степени 230
§ 5. Некоторые методы построения неприводимых многочленов над конечным полем 232
Задачи 236
Глава ХХIII. Задание групп образующими элементами и определяющими соотношениями 238
§ 1. Общая конструкция группы, заданной образующими элементами и определяющими соотношениями 240
§ 2. Задание произвольной группы системами образующих элементов и определяющих соотношений 246
§ 3. Переход от одного задания группы к другому заданию. Теорема Тице 251
§ 4. Описание конечно определенных абелевых групп 257
§ 5. О ширине и длине конечной группы относительно заданной системы образующих 266
Задачи 270
Глава XXIV. Группы подстановок (дополнение) 273
§ 1. Подстановочные представления конечных групп 273
§ 2. Регулярные группы подстановок 279
§ 3. Кратно транзитивные группы подстановок 282
§ 4. Примитивные и импримитивные группы подстановок 286 Задачи 290
Глава XXV. Линейные рекуррентные последовательности 292
§ 1. Основные определения. Семейство ЛРП с данным характеристическим многочленом и его базисы 293
§ 2. Умножение последовательности на многочлен. Генератор ЛРП 297
§ 3. Минимальный многочлен и аннулятор ЛРП  301
§ 4. Соотношения между семействами ЛРП с различными характеристическими многочленами 305
§ 5. Биномиальный базис пространства ЛРП над полем 307
§ б. Представление ЛРП над конечным полем с помощью функции "след" 312
§ 7. Периодические последовательности 319
§ 8. Периодические многочлены. Периодичность ЛРП над конечным кольцом 323
§ 9. Вычисление периода и длины подхода ЛРП над конечным полем 327
§ 10. ЛРП максимального периода над конечным полем 330
§ 11. Цикловой тип семейства ЛРП с реверсивным характеристическим многочленом над конечным кольцом 333
§ 12. ЛРП над кольцами вычетов 340
§ 13. Распределение элементов на циклах линейных рекуррент 352
Задачи 361
Глава XXVI. Линейные последовательности и граф линейного преобразования конечного векторного пространства 377
§ 1. Период и длина подхода линейной последовательности 378
§ 2. Графы преобразований и их числовые характеристики 379
§ 3. Декартово произведение графов преобразований и его числовые характеристики 387
§ 4. Параметры графа линейного преобразования 389
Задачи 393
Указатель имен 395
Предметный указатель 396
Литература учебная 403
Литература научная 405.