Алгебра, Том 1, Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А., 2003

Алгебра, Том 1, Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А., 2003.
   Учебник содержит полное и систематическое изложение материала, входящего в федеральный компонент дисциплины «Алгебра» Государственных образовательных стандартов по специальностям «Криптография» и «Компьютерная безопасность». В отличие от традиционных курсов высшей алгебры, изучаемых на математических факультетах университетов, данный курс характеризуется углубленным изучением дискретных алгебраических объектов: конечных колец, полей, линейных пространств, полугрупп преобразований, групп подстановок.
Том I содержит основные понятия и теоремы современной алгебры в объеме годового курса высшей алгебры для студентов математических специальностей университетов.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.
Комбинаторика, или комбинаторный анализ, является большим самостоятельным разделом современной математики, играющим важную роль во всех других областях математики и ее приложениях. В комбинаторике изучаются методы построения и перечисления различных комбинаций объектов, удовлетворяющих тем или иным условиям.
Простейшими комбинациями объектов некоторого множества являются его произвольные подмножества, его системы элементов, расположенных в определенном порядке, разбиения множества и др. При изучении алгебры часто возникает необходимость построения и подсчета числа различных комбинаций элементов, их упорядочиваний и группирований. В связи с этим приведем простейшие сведения комбинаторного характера.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I Введение 5
§ 1. Предмет алгебры 5
§ 2. Первоначальные понятия и обозначения из теории множеств и математической логики 9
§ 3. О математических утверждениях и методах их доказательства 20
Задачи 26
Глава II. Элементы комбинаторики 29
§ 1. Отношения на множествах. Отношения эквивалентности и частичного порядка 29
§ 2. Сочетания, размещения и перестановки элементов конечного множества 32
§ 3. Перестановки и их классификация 36
Задачи 40
Глава III. Основные алгебраические структуры 41
§ 1. Бинарные операции и их свойства 41
§ 2. Алгебраические структуры с одной бинарной операцией 44
§ 3. Кольца и поля 51
§ 4. Изоморфизм множеств с операциями 57
Задачи 62
Глава IV. Числовые кольца и поля 65
§ 1. Отношение делимости в кольце Z. Деление целых чисел с остатком 65
§ 2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел 67
§ 3. Простые числа. Основная теорема арифметики 74
§ 4. Числовые поля. Поле комплексных чисел 78
Задачи 87
Глава V. Кольца и поля вычетов 89
§ 1. Сравнения целых чисел по модулю 89
§ 3. Решение сравнений 96
Задачи 101
Глава VI. Кольца матриц 102
§ 1. Матрицы над кольцом и операции над ними 102
§ 2. Определители матриц над коммутативным кольцом с единицей 108
§ 3. Подматрицы матриц. Миноры и их алгебраические дополнения 117
§ 4. Обратимые матрицы. Критерий обратимости 123
§ 5. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы 124
§ 6. Канонические матрицы над кольцом Z 128
Задачи 134
Глава VII Матрицы над полем 137
§ 1. Ранг матрицы 138
§ 2. Каноническая форма матрицы 141
§ 3. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов 143
§ 4. Подпространства арифметических пространств 152
Задачи 154
Глава VIII Системы линейных уравнений 156
§ 1. Системы линейных уравнений над коммутативным кольцом с единицей. Равносильность систем уравнений. Теорема Крамера 156
§ 2. Системы линейных уравнений над полем 160
§ 3. Система линейных однородных уравнений 163
Задачи 167
Глава IX. Многочлены 169
§ 1. Кольцо многочленов над кольцом с единицей 170
§ 2. Делимость многочленов. Теорема о делении с остатком 175
§ 3. Значение и корень многочлена. Теорема Безу. Многочлен как функция 179
§ 4. Кольцо многочленов над полем. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 181
§ 5. Неприводимые многочлены над полем. Каноническое разложение многочлена
§ 6. Корни многочленов над полем. Производная 191
§ 7. Многочлены над числовыми полями
§ 8. Кольцо многочленов от нескольких переменных 200
§ 9. Инвариантные подкольца. Симметрические многочлены 209
Задачи 214
Глава X. Группоиды и полугруппы 218
§ 1. Подгруппоиды и подполугруппы 218
§ 2. Гомоморфизмы группоидов 221
§ 3. Конгруэнции на группоидах и фактор-группоиды 224
§ 4. Полугруппы преобразований 230
§ 5. Полугруппы бинарных отношений 233
Задачи 236
Глава XI. Основы теории групп 239
§ 1. Определяющие свойства групп 239
§ 2. Порядки элементов и экспонента группы 241
§ 3. Подгруппы. Подгруппа, порожденная подмножеством 244
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Подгруппы циклической группы 249
§ 5. Произведения групп и подгрупп. Разложение группы 252
§ 6. Классы сопряженных элементов. Нормализаторы. Центр р-группы 260
§ 7. Группы подстановок. Орбиты и стабилизаторы. Лемма Бернсайда 262
§ 8. Цикловая структура и четность подстановки. Знакопеременная группа 269
§ 9. Системы образующих симметрической и знакопеременной групп 277
§ 10. Сопряженные элементы в симметрической группе. Уравнение Коши 280
§ 11. Гомоморфизмы групп и нормальные делители 284
§ 12. Теоремы об изоморфизме 291
§ 13. Простые группы 293
§ 14. Силовские подгруппы 296
Задачи 300
Глава ХII. Конечные абелевы группы 307
§ 1. Каноническое разложение конечной абелевой группы 307
§ 2. Тип конечной абелевой группы 309
§ 3. Перечисление конечных абелевых групп 312
§ 4. Характеры конечных абелевых групп 314
§ 5. Характеры конечных полей и суммы Гаусса 318
Задачи 321
Указатель имен 322
Предметный указатель 323
Литература учебная 330
Литература научная 331.