Алгебра, Теоремы и алгоритмы, Яцкин Н.И., 2006

Алгебра, Теоремы и алгоритмы, Яцкин Н.И., 2006.
  Излагаются основы теории и приводятся указания к практическим и лабораторным занятиям по курсу алгебры и геометрии в рамках следующих тем: введение в линейную алгебру, алгебра комплексных чисел и алгебра многочленов. Пособие предназначено для студентов ВУЗов, обучающихся по направлению «Математика. Компьютерные науки».

Матрицы-столбцы (арифметические векторы).
Из геометрии алгебраисты переняли следующую терминологию: матрицы-столбцы (а также матрицы-строки) называются арифметическими векторами. (Действительные числа на том же жаргоне именуются скалярами.) Такое заимствование не случайно. Дело в том, что геометрические векторы (изучавшиеся в школе и изучаемые в курсе аналитической геометрии), будучи заданными своими координатами, складываются и умножаются на скаляры покомпонентно (т. е. по тому же принципу, что и матрицы в алгебре). В геометрии чаще всего координаты векторов записываются в строчку (и отделяются запятыми); мы будем предпочитать запись векторов в столбик, что диктуется удобством оформления вычислений (читатель вскоре должен в этом убедиться). Упомянем еще об одном отличии между векторами в геометрии и в алгебре: в классической аналитической геометрии изучаются векторы на прямой, на плоскости и в пространстве (или, как говорят, векторы одно-, дву- и трехмерные); в алгебре же мы с самого начала работаем с векторами произвольной размерности.
Замечание 1.1. Несколько слов о важнейшем в нашей науке термине "линейный". Если этот термин применяется к множеству (см. выше), то это значит, что в указанном множестве определены две алгебраические операции (также именуемые линейными): сложение и умножение на число.
Если он применяется к подмножеству, то это означает, что указанное подмножество "устойчиво" относительно названных операций (подробнее см. ниже, в п. 3.2).
Если он применяется к отображению, то такое отображение должно "переводить сумму в сумму" и также "сохранять" произведения на скаляр (подробности — далее, см. п. 15.1).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 13
Глава 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И АЛГЕБРА МАТРИЦ 19
§1. Системы линейных уравнений и их решения. Матрицы и действия над ними 19
1.1. Развернутая запись системы линейных уравнений 19
1.2. Матрицы 20
1.3. Матрицы-столбцы (арифметические векторы) 22
1.4. Матричная запись для с.л.у. Множество решений с.л.у 23
1.5. Однородные с.л.у 25
§2. Законы матричной алгебры 25
2.1. Аксиомы поля 25
2.2. Алгебраическая система матриц. Операция транспонирования 27
2.3. Законы для алгебраических операций над матрицами 28
§3. Свойства решений систем линейных уравнений 36
3.1. Свойства решений однородных и неоднородных с.л.у 36
3.2. Линейные подпространства пространства R 38
3.3. Подмножества решений однородных и неоднородных с.л.у. 39
§4. Равносильные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Понятие о методе Гаусса 41
4.1. Равносильные с.л.у 41
4.2. Элементарные преобразования с.л.у 41
4.3. Расширенная матрица с.л.у. Матричное выражение элементарных преобразований над с.л.у. 42
4.4. Идея метода Жордана — Гаусса (на примере) 43
§5. Метод Жордана — Гаусса для матриц 51
5.1. Матрицы ступенчатого вида, вида Жордана — Гаусса, модифицированного вида Жордана — Гаусса, скелетного вида 51
5.2. Теорема Жордана — Гаусса для матриц 53
§6. Метод Жордана — Гаусса для систем линейных уравнений 56
6.1. Теорема Жордана — Гаусса для еду 56
6.2. Случай однородной с.л.у 60
6.3. Случай квадратной с.л.у. Альтернатива Фредгольма 61
§7. Некоторые типовые задачи: системы линейных уравнений с параметром, линейные матричные уравнения 62
7.1. С.л.у. с параметром 62
7.2. Линейные матричные уравнения 69
Глава 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА. БАЗИСЫ И РАЗМЕРНОСТИ 75
§8. Системы векторов в пространстве Rn и их линейные оболочки. 75
8.1. Конечные системы арифметических векторов и соответствующие
матрицы 75
8.2. Линейная оболочка конечной с.в 77
8.3. Критерий принадлежности вектора линейной оболочке системы векторов 79
8.4. Примеры линейных оболочек 81
§9. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов 82
9.1. Понятие линейно зависимой (линейно независимой) с.в 82
9.2. Критерий линейной зависимости (линейной независимости) с.в.83
9.3. Свойства линейно зависимых (линейно независимых) с.в 84
9.4. Примеры линейно независимых с.в 86
§10. Базисы в линейных подпространствах пространства Rn 87
10.1. Понятие базиса в линейном подпространстве арифметического линейного пространства 87
10.2. Свойство единственности для разложения по базису 88
10.3. Теорема существования базиса 89
10.4. Свойство продолжения базисов 92
§11. Равномощность базисов в подпространстве. Понятие размерности подпространства. Ступенчатый ранг матрицы 93
11.1. Теорема о равномощности всех базисов в данном подпространстве 93
11.2. Понятие размерности для линейного подпространства в пространстве Rn 96
11.3. Размерность подпространства решений однородной с.л.у 97
11.4. Ступенчатый ранг матрицы 97
§12. Столбцовый и строчный ранги матрицы 98
12.1. Ранг системы векторов и его свойства 98
12.2. Столбцовый и строчный ранга матрицы 99
12.3. Инвариантность столбцового (строчного) ранга при элементарных преобразованиях над строками (столбцами) 100
12.4. Первая теорема о ранге матрицы 102
12.5. Ранг матрицы и исследование с.л.у. (теорема Кронекера — Каиелли) 103
§13. Алгоритмы построения базисов и вычисления размерностей и рангов 104
13.1. Два способа задания линейных подпространств в пространстве Rn 104
13.2. Базис и размерность для нуль-пространства матрицы 105
13.3. Базис и размерность для линейной оболочки столбцов матрицы 107
13.4. Переход от второго способа задания линейных подпространств к первому 110
13.5. вычисление ранга матрицы, зависящей от параметра 114
13.6. Решение задач с арифметическими векторами средствами системы Maple 116
§14. Обратимые квадратные матрицы 119
14.1. Кольцо квадратных матриц заданного размера 119
14.2. Группа обратимых квадратных матриц 121
14.3. Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями 123
14.4. Обратимость элементарных матриц. Выражение с помощью элементарных матриц приводимости прямоугольной матрицы к скелетному виду 127
14.5. Невырожденные матрицы. Первая теорема об условиях обратимости матрицы 128 146. Алгоритм Жордана — Гаусса вычисления обратной матрицы 130
§15. Линейные операторы в арифметических линейных пространствах 134
15.1. Линейные отображения арифметических линейных пространств и алгебраические действия над ними 134
15.2. Матрица линейного оператора (относительно естественных базисов в арифметических линейных пространствах) 139
15.3. Теорема об изоморфизме для алгебраической системы линейных операторов в арифметических линейных пространствах и алгебраической системы прямоугольных матриц 141
15.4. Законы для алгебраических действий над линейными операторами 145
15.5. Лилейные операторы в одном пространстве. Обратимые линейные операторы и обратимые матрицы 147
15.6. Линейные эпиморфизмы и линейные мономорфизмы. Равносильность мономорфности и эпиморфности для эндоморфизмов 148
Глава 3. ТЕОРИЯ ПЕРЕСТАНОВОК 157
§16. Перестановки и алгебраические действия над ними 157
16.1. Биекции конечного множества 157
16.2. Умножение перестановок 160
16.3. Тождественная (единичная) перестановка 160
16.4. Обратная перестановка 161
16.5. Группа перестановок 161
16.6. Область действия перестановки. Независимые перестановки 162
16.7. Коммутирующие перестановки 162
16.8. Отображения левого (правого) сдвига и обращения на группе перестановок 163
§17. Циклические перестановки. Разложение перестановки в произведение независимых циклов 164
17.1. Циклы и частичные циклы 164
17.2. Теорема о разложении перестановки на независимые циклы 166
17.3. Декремент перестановки 170
§18. Степени перестановки. Порядок перестановки 171
18.1. Целые степени перестановки и их свойства 171
18.2. Порядок перестановки 173
18.3. Степени и порядок для циклической перестановки 175
18.4. Вычисление порядка перестановки с помощью ее разложения на независимые циклы 176
§19. Разложение перестановки в произведение транспозиций 179
19.1. Разложение циклической перестановки в произведение транспозиций 179
19.2. Разложение произвольной перестановки в произведение транспозиций 180
19.3. Коммутационные соотношения для транспозиций 181
19.4. Теорема о разложениях перестановки на транспозиции 182
§20. Знак и четность перестановки 185
20.1. Знак перестановки 185
20.2. Свойства знака 186
20.3. Четность перестановки. Подгруппа четных перестановок 188
§21. Число инверсий в перестановке. Второй способ определения знака перестановки 191
21.1. Инверсии в перестановке 191
21.2. Второй способ определения знака перестановки 192
§22. Вычисления с перестановками в системе Maple 194
22.1. Форматы задания перестановок 194
22.2. Умножение перестановок в пакете group 196
22.3. Обращение перестановок в пакете group 197
22.4. Вычисление порядка перестановки 197
22.5. Вычисление знака перестановки 198
Глава 4. ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 199
§23. Определение определителя квадратной матрицы. Определитель треугольной матрицы. Определитель транспонированной матрицы 199
23.1. Определите определителя 199
23.2. Определители малых порядков 202
23.3. Определитель треугольной матрицы 203
23.4. Определитель транспонированной матрицы 204
§24. Определитель квадратной матрицы как полилинейная и антисимметрическая функция ее столбцов (строк) 206
24.1. Функции от векторов-столбцов (векторов-строк) квадратной матрицы 206
24.2. Полилинейность и антисимметричность функции A > dеt(A) 208
24.3. Следствия из свойств полилинейности и антисимметричности определителя 211
24.4. Метод Гаусса вычисления определителей 212
§25. Вычисление определителя с помощью разложения по столбцу (строке) 213
25.1. Алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы 213
25.2. Теорема Лапласа о вычислении определителя разложением по строке (столбцу) 216
25.3. Еще одно свойство алгебраических дополнений 217
25.4. Индуктивный алгоритм вычисления определителя 218
§26. Описание всех полилинейных и антисимметрических функций от столбцов (строк) квадратной матрицы 220
26.1. Теорема о полилинейных и антисимметрических функциях от столбцов (строк) квадратной матрицы 220
26.2. Аксиоматический подход к определению определителя 222
§27. Определитель блочно-треугольной матрицы. Определитель произведения матриц 223
27.1. Определитель блочно-треугольной матрицы 223
27.2. Мультипликативное свойство определителя 226
§28. Присоединенная матрица. Выражение обратной матрицы через присоединенную 228
28.1. Определение и основное свойство присоединенной матрицы 228
28.2. Неособые матрицы. Вторая теорема об условиях обратимости матрицы 229
28.3. Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью присоединенной 231
§29. Решение квадратных систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера 233
29.1. Решение квадратных сл.у. с помощью обратной матрицы 233
29.2. Решение квадратных сл.у. по формулам Крамера 234
§30. Минорный ранг матрицы. Вторая теорема о ранге матрицы 230
30.1. Миноры матрицы 236
30.2. Минорный ранг матрицы 237
30.3. Вторая теорема о ранге матрицы239
30.4. Метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы 241
§30а. Рекуррентности и определители 243
30а.1. Понятие о рекуррентностях 243
30а.2. Линейные однородные рекуррентности второго порядка 246
З0а.3. Последовательность Фибоначчи 249
З0а.4. Определители некоторых трехди атональных матриц 250
30а. 5. Определитель Вандермонда 252
Глава 5. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 255
§31. Векторная модель поля комплексных чисел 255
31.1. Интуитивное представление о комплексных числах. Квадратное уравнение с действительными коэффициентами случай отрицательного дискриминанта 255
31.2. Алгебраические действия над комплексными числами 259
31.3. Комплексные числа как двумерные действительные векторы. 262
31.4. Матричная модель для поля комплексных чисел 266
31.5. Вычисления с комплексными числами в алгебраической форме 267
§32. Комплексные числа в тригонометрической форме 272
32.1. Геометрическое представление комплексного числа. Модуль, аргумент и тригонометрическая форма комплексного числа 272
32.2. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра 281
32.3. Извлечение корней из комплексных чисел в тригонометрической форме 285
§33. Корни из единицы. Первообразные корни 292
33.1. Комплексные корни из единицы и их свойства 292
33.2. Первообразные (примитивные) корни из единицы 297
33.3. Использование корней из единицы при вычислении корней из других комплексных чисел 298
§34. Показательная функция комплексного аргумента. Показательная форма комплексного числа 299
34.1. Основные понятия математического анализа функций комплексного переменного 299
34.2. Показательная функция (экспонента) комплексного переменного 303
34.3. Формулы Эйлера Зй5
34.4. Показательная форма комплексного числа 306
34.5. Натуральный логарифм комплексного числа 307
§35. Основная теорема алгебры 308
35.1. Корни многочленов (с комплексными коэффициентами) 308
35.2. Основная теорема алгебры (формулировка, идеи и этапы доказательства) 309
35.3. Основная теорема алгебры (подробное доказательство) 311
ГЛАВА 6. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ 318
§36. Векторная модель кольца многочленов (над полем) 318
36.1. Алгебраическое определение многочлена над полем 318
36.2. Линейное пространство многочленов 323
36.3. Кольцо многочленов 324
36.1. Группа обратимых элементов кольца многочленов ЗЗП
36.2. Отношение ассоциированности в коммутативном кольце. Ассоциированные (пропорциональные) многочлены. Нормализованные многочлены 331
36.6. Целостные коммутативные кольца. Целостность кольца многочленов 332
§37. Деление с остатком и отношение делимости в кольце многочленов (над полем) 334
37.1. Деление с остатком в кольце многочленов 334
37.2. Отношение делимости в целостном кольце. Делимость (нацело) для многочленов 338
§38. Алгоритм Евклида отыскания наибольшего общего делителя в кольце многочленов над полем 340
38.1. Понятие наибольшего общего делителя в целостном кольце. Условие Везу 340
38.2. Существование НОД и алгоритм Евклида для его отыскания в кольце целых чисел 343
38.3. Существование НОД и алгоритм Евклида для его отыскания в кольце многочленов над полем 346
38.4. Отыскание линейного представления для НОД в кольце многочленов методом неопределенных коэффициентов 348
38.5. Взаимно простые элементы в целостном кольце (с условием Везу) 354
38.6. Взаимно простые многочлены 356
38.7. Наименьшее общее кратное. Связь НОК и НОД 358
38.8. Понятие о евклидовых кольцах 362
§39. Многочлены и полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Везу 363
39.1. Полиномиальные функции. Равенство многочленов и равенство полиномиальных функций 363
39.2. Корни многочленов и теорема Безу 368
39.3. Оценка количества (различных) корней многочлена 370
39.4. Многочлены и полиномиальные функции над бесконечным полем 371
§40. Кратность корпя. Оценка суммы кратностей корней. Алгебраически замкнутые поля. Разложимость многочленов на линейные множители. Теорема Виета 372
40.1. Понятие кратности корня многочлена 372
40.2. Оценка суммы кратностей корней многочлена 373
40.3. Алгебраически замкнутые поля 375
40.4. Разложение многочлена над алгебраически замкнутым полем на линейные множители 376
40.5. Вычисление корней многочленов и разложение многочленов на множители средствами системы Maple 377
40.6. Теорема Виста 380
§41. Схема Горнера 383
41.1. Схема Горнера для вычисления значений многочленов 383
41.2. Разложение многочлена по степеням х - с (формула Тейлора) 385
41.3. Определение кратности корня многочлена с помощью схемы Горнера 387
§42. Рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами 388
42.1. Многочлены с рациональными коэффициентами и многочлены с целыми коэффициентами 388
42.2. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами 389
42.3. Алгоритм отыскания всех рациональных корней для многочлена с целыми коэффициентами 391
§43. Многочлены с действительными коэффициентами и их разложение на линейные и квадратичные множители 395
43.1. Сопряженные многочлены для многочленов с комплексными коэффициентами 395
43.2. Комплексные корни для многочленов с действительными коэффициентами 396
43.3. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители 398
43.4. Примеры разложения многочленов над полем действительных чисел 399
§44. Неразложимые элементы в целостном кольце. Простые элементы. Неприводимые многочлены 401
44.1. Понятие неразложимого элемента в целостном кольце 401
44.2. Понятие простого элемента в целостном кольце 403
44.3. Канонические неразложимые (простые) элементы 405
44.4. Неприводимые многочлены 405
44.5. Неприводимые многочлены над алгебраически замкнутыми нолями и над полем действительных чисел 407
§45. Факториальные кольца. Факториальность кольца целых чисел (основная теорема арифметики) и факториальность кольца многочленов (над полем) 408
45.1. Определение факториального кольца 408
45.2. Свойства факториальных колец 411
45.3. Достаточные условия факториальности кольца. Факториальность евклидовых колец 413
45.4. Основная теорема арифметики 416
45.5. Факториальность кольца многочленов над полем 417
§46. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом. Неприводимые многочлены над полем Q и над кольцом Z 417
46.1. Содержание многочлена над факториальным кольцом. Примитивные многочлены 417
46.2. Неразложимые элементы в кольце многочленов над факториальным кольцом 420
46.3. .Лемма Гаусса 420
46.1. Поле частных целостного кольца 423
46.2. Сохранение неприводимости многочленов над факториальным кольцом при переходе к полю частных 424
46.3. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом 426
46.4. Признак Эйзенштейна неприводимости многочлена над факториальным кольцом 430
§47. Дифференцирование в кольце многочленов. Отделение кратных множителей 434
47.1. Понятие характеристики ноля 434
47.2. Понятие (формальной) производной от многочлена 436
47.3. Высшие производные и формула Тейлора для многочленов 441
47.4. Кратность корня многочлена и значения производных 443
47.5. Уменьшение кратности неприводимого множителя многочлена при дифференцировании 443
47.6. Отделение кратных неприводимых множителей (кратных корней) 444
§48. Первоначальные понятия теории многочленов от нескольких переменных 447
48.1. Мультииндексы и их лексикографическое упорядочение 447
48.2. Многочлены от нескольких переменных. Лексикографическое упорядочение одночленов 452
48.3. Лемма о высшем члене произведения многочленов 457
48.4. Однородные многочлены (формы) 458
48.5. Композиция многочленов (подстановка многочленов в многочлен) 459
§49. Симметрические многочлены 459
49.1. Определение симметрического многочлена 459
49.2. Лемма о высшем члене симметрического многочлена 462
49.3. Моногенные симметрические многочлены 463
49.4. Основная теорема о симметрических многочленах 464
49.5. Примеры выражения симметрических многочленов через элементарные симметрические 469
49.6. Значения симметрических многочленов от корней многочлена 472
49.7. Дискриминант многочлена (от одной переменной) 474
§50. Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие 477
50.1. Уравнения малых степеней над полем С 477
50.2. Метод Ферро — Тартальи — Кардано решения уравнений третьей степени 479
50.3. Метод Феррари решения уравнений четвертой степени 487
Приложение 1. Рисунки к главе 5 494
Приложение 2. Таблицы к главе 6 499
Список рекомендуемой литературы 505.