Алгебра, Ленг С.

Алгебра, Ленг С.
   Автор книги, видный американский математик, профессор Колумбийского университета С. Ленг, хорошо знаком советскому читателю по двум вышедшим ранее монографиям "Алгебраические числа" и "Введение в теорию дифференцируемых многообразий" (издательство "Мпр", 1966 и 1967). В книге рассмотрены все основные разделы современной алгебры (группы, кольца, модули, теория полей, линейная и полилинейная алгебра, представления групп).
Книга будет весьма полезной математикам различных специальностей, студентам, аспирантам и научным работникам. Она может служить основой специальных курсов по алгебре.

Моноиды.
Пусть S — множество. Отображение S X S > S называется иногда законом композиции (на S в себя). Если х и y — элементы из S, то образ пары (x, y) при этом отображении называется также их произведением относительно закона композиции и будет обозначаться через ху. (Иногда мы пишем также x • у, а во многих случаях удобно использовать и аддитивное обозначение и писать, таким образом, х+у. В этом случае мы называем элемент x+у суммой х и у. Обычно обозначение х + у используют только в том случае, когда выполняется соотношение х+у = у+x.)
Пусть S — множество, наделенное законом композиции. Произведение элементов х, у, z из S можно составить двумя способами: (xy)z и x(yz). Если (xy)z = x(yz) для всех х, у, z из то мы говорим, что закон композиции ассоциативен.
Элемент е из S, такой, что ex = х = хе для всех x Э S, называется единичным элементом. (Когда закон композиции записывается аддитивно, единичный элемент обозначается через 0 и называется нулевым элементом.) Единичный элемент единствен, поскольку если е' — другой единичный элемент, то по предположению имеем е = ее' = е'.
Оглавление
От редактора перевода
Предисловие
Предварительные сведения
Литература
Оглавление
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Глава I. Группы
§1. Моноиды
§2. Группы
§3. Циклические группы
§4. Нормальные подгруппы
§5. Действие группы на множестве
§6. Силовские подгруппы
§7. Категории и функторы
§8. Свободные группы
§9. Прямые суммы и свободные абелевы группы
§10. Конечно порожденные абелевы группы
§11. Дуальная группа.
Упражнения
Глава II. Кольца
§1. Кольца и гомоморфизмы
§2. Коммутативные кольца
§3. Локализация
§4. Кольца главных идеалов.
Упражнения
Глава III. Модули
§1. Основные определения
§2. Группа гомоморфизмов
§3. Прямые произведения и суммы модулей
§4. Свободные модули
§5. Векторные пространства
§6. Дуальное пространство.
Упражнения
Глава IV. Гомологии
§1. Комплексы
§2. Гомологическая последовательность
§3. Эйлерова характеристика
§4. Теорема Жордана — Гёльдера.
Упражнения
Глава V. Многочлены
§1. Свободные алгебры
§2. Определение многочленов
§3. Элементарные свойства многочленов
§4. Алгоритм Евклида
§5. Простейшие дроби
§6. Однозначность разложения на простые множители многочленов от нескольких переменных
§7. Критерии неприводимости
§8. Производная и кратные корни
§9. Симметрические многочлены
§10. Результант. Упражнения
Глава VI. Нётеровы кольца и модули
§1. Основные критерии
§2. Теорема Гильберта
§3. Степенные ряды
§4. Ассоциированные простые идеалы
§5. Примарное разложение.
Упражнения
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
Глава VII. Алгебраические расширения
§1. Конечные и алгебраические расширения
§2. Алгебраическое замыкание
§3. Поля разложения и нормальные расширения
§4. Сепарабельные расширения
§5. Конечные поля
§6. Примитивные элементы
§7. Чисто несепарабельные расширения.
Упражнения
Глава VIII. Теория Галуа
§1. Расширения Галуа
§2. Примеры и приложения
§3. Корни из единицы
§4. Линейная независимость характеров
§5. Норма и след
§6. Циклические расширения
§7. Разрешимые и радикальные расширения
§8. Теория Куммера
§9. Уравнение Хn-а=0
§10. Когомологии Галуа
§11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов
§12. Теорема о нормальном базисе.
Упражнения
Глава IX. Расширения колец
§1. Целые расширения колец
§2. Целые расширения Галуа
§3. Продолжение гомоморфизмов.
Упражнения
Глава X. Трансцендентные расширения
§1. Базисы трансцендентности
§2. Теорема Гильберта о нулях
§3. Алгебраические множества
§4. Теорема Пётера о нормализации
§5. Линейно свободные расширения
§6. Сепарабельные расширения
§7. Дифференцирования.
Упражнения
Глава XI. Вещественные поля
§1. Упорядоченные поля
§2. Вещественные поля
§3. Вещественные нули и гомоморфизмы
Упражнения
Глава XII. Абсолютные значения
§1. Определения, зависимость и независимость
§2. Пополнения
§3. Конечные расширения
§4. Нормирования
§5. Пополнения и нормирования
§6. Дискретные нормирования
§7. Нули многочленов в полных полях
Упражнения
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Глава XIII. Матрицы и линейные отображения
§1. Матрицы
§2. Ранг матрицы
§3. Матрицы и линейные отображения
§4. Определители
§5. Двойственность
§6. Матрицы и билинейные формы
§7. Полуторалинейная двойственность.
Упражнения
Глава XIV. Структура билинейных форм
§1. Предварительные сведения, ортогональные суммы
§2. Квадратичные отображения
§3. Симметрические формы, ортогональные базисы
§4. Гиперболические пространства
§5. Теорема Витта
§6. Группа Витта
§7. Симметрические формы над упорядоченными полями
§8. Алгебра Клиффорда
§9. Знакопеременные формы
§10. Пфаффиан
§11. Эрмитовы формы
§12. Спектральная теорема (Эрмитов случай)
§13. Спектральная теорема (симметрический случай).
Упражнения
Глава XV. Представление одного эндоморфизма
§1. Представления
§2. Модули над кольцами главных идеалов
§3. Разложение над одним эндоморфизмом
§4. Характеристический многочлен.
Упражнения
Глава XVI. Полилинейные произведения
§1. Тензорное произведение
§2. Основные свойства
§3. Расширение основного кольца
§4. Тензорное произведение алгебр
§5. Тензорная алгебра модуля
§6. Знакопеременные произведения
§7. Симметрические произведения
§8. Кольцо Эйлера — Гротендика
§9. Некоторые функториальные изоморфизмы.
Упражнения
Глава XVII. Полупростота
§1. Матрицы и линейные отображения над некоммутативными кольцами
§2. Условия, определяющие полупростоту
§3. Теорема плотности
§4. Полупростые кольца
§5. Простые кольца
§6. Сбалансированные модули.
Упражнения
Глава XVIII. Представления конечных групп
§1. Полупростота групповой алгебры
§2. Характеры
§3. Одномерные представления
§4. Пространство функций классов
§5. Соотношения ортогональности
§6. Индуцированные характеры
§7. Индуцированные представления
§8. Положительное разложение регулярного характера
§9. Сверхразрешимые группы
§10. Теорема Брауэра
§11. Поле определения представления.
Упражнения
Указатель литературы
Добавление. Трансцендентность е и п.