Алгебра и начало анализа, 10 класс, Нелин Е.П., 2006

Алгебра и начало анализа, 10 класс, Нелин Е.П., 2006.
    Предлагаемый учебник направлен на реализацию основных положений концепции профильного обучения в старшей школе, на организацию личностно-ориентированного обучения математике. Учебник подготовлен в соответствии с действующей программой по алгебре и началам анализа для 10-11 классов с учетом программы по алгебре и началам анализа для 10-12 классов.
Это двухуровневый учебник, который содержит общий материал для классов универсального, естественного и физико-математического профилей и дополнительный материал для классов физико-математического профиля.
Понятие функции.
С понятием функции вы ознакомились в курсе алгебры. Напомним, что зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
В курсе алгебры и начал анализа мы будем пользоваться таким определением числовой функции.
Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу х из множества D ставится в соответствие единственное число у.
Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию f. Число у, соответствующее числу х (на рисунке 1 это показано стрелкой), называют значением функции f в точке х и обозначают f (х).
Область определения функции f — это множество тех значений, которые может принимать аргумент х. Она обозначается D (f).
Область значений функции f — это множество, состоящее из всех чисел f (х), где х принадлежит области определения. Ее обозначают Е (f).
Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. Если нет дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считается множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие для учащихся 3
Предисловие для учителя 4
Обозначения, встречающиеся в учебнике 5
Раздел 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1 Повторение и расширение сведений о функции 6
1.1. Понятие числовой функции. Простейшие свойства числовых функций 6
1.2. Свойства и графики основных видов функций 18
1.3. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций 28
§ 2 Радианная мера углов 38
§ 3 Тригонометрические функции угла и числового аргумента 43
§ 4 Свойства тригонометрических функций 49
§ 5 Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики 56
5.1. Свойства функции у = sin х и ее график 56
5.2. Свойства функции у = cos х и ее график 60
5.3. Свойства функции у = tg x и ее график 64
5.4. Свойства функции у = ctgx и ее график 67
§ 6 Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента 75
§ 7 Формулы сложения и их следствия 80
7.1. Формулы сложения 80
7.2. Формулы двойного аргумента 85
7.3. Формулы приведения 90
7.4. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму 94
§ 8 Графики уравнений и неравенств с двумя переменными 100
§ 9 Метод математической индукции 111
§ 10 Многочлены от одной переменной и действия над ними 114
10.1. Определение многочленов от одной переменной и их тождественное равенство 114
10.2. Действия над многочленами. Деление многочлена на многочлен с остатком 117
10.3. Теорема Безу. Корни многочлена. Формулы Виета 119
10.4. Схема Горнера 123
10.5. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами 125
§ 11 Дополнительные формулы тригонометрии 129
11.1. Формулы тройного и половинного аргументов. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента 129
11.2. Формула преобразования выражения a sin a + b cos a 135
Дополнительные упражнения к разделу 1 138
Сведения из истории 139
Раздел 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 12 Обратная функция 140
§ 13 Обратные тригонометрические функции 146
13.1. Функция у = arcsin х 146
13.2. Функция у = arccos х 149
13.3. Функция у = arctg x 151
13.4. Функция у = arcctg x 154
§ 14 Решение простейших тригонометрических уравнений 158
14.1. Уравнение cos x = a 158
14.2. Уравнение sin х = а 161
14.3. Уравнения tg х = а и ctg х = а 164
§ 15 Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших 169
15.1. Замена переменных при решении тригонометрических уравнений 169
15.2. Решение тригонометрических уравнений приведением к одной функции (с одинаковым аргументом) 170
15.3. Решение однородных тригонометрических уравнений и приведение тригонометрического уравнения к однородному 172
15.4. Решение тригонометрических уравнений вида f(х) = О с помощью разложения на множители 174
15.5. Отбор корней тригонометрических уравнений 176
§ 16 Решение систем тригонометрических уравнений 180
§ 17 Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений 183
§ 18 Применение свойств функций к решению уравнений 198
§ 19 Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем 206
§ 20 Тригонометрические уравнения с параметрами 217
20.1. Решение уравнений с параметрами 217
20.2. Исследовательские задачи с параметрами 222
20.3. Использование условий расположения корней квадратного трехчлена f(х) = ах2 + bх + с(а=0) относительно заданных чисел А и В 225
§ 21 Решение неравенств. Уравнения и неравенства с модулями 231
21.1. Равносильные преобразования неравенств и общий метод интервалов 231
21.2. Уравнения и неравенства с модулями 240
§ 22 Решение тригонометрических неравенств 249
Дополнительные упражнения к разделу 2 258
Раздел 3. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
§ 23 Корень n-й степени и его свойства 262
§ 24 Иррациональные уравнения 277
§ 25 Обобщение понятия степени. Степенная функция, ее свойства и график 283
25.1. Обобщение понятия степени 283
25.2. Степенная функция, ее свойства и график 290
§ 26 Применение свойств функций к решению иррациональных уравнений 301
26.1. Применение свойств функций к решению иррациональных уравнений 301
26.2. Примеры использования других способов решения иррациональных уравнений 305
§ 27 Решение иррациональных неравенств 308
§ 28 Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами 316
Дополнительные упражнения к разделу 3 324
Сведения из истории 327
Раздел 4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 29 Показательная функция, ее свойства и график 328
§ 30 Решение показательных уравнений и неравенств 338
30.1. Простейшие показательные уравнения 338
30.2. Решение более сложных показательных уравнений и их систем 344
30.3. Решение показательных неравенств 351
§ 31 Логарифм числа. Свойства логарифмов 357
§ 32 Логарифмическая функция, ее свойства и график 366
§ 33 Решение логарифмических уравнений и неравенств 373
33.1. Решение логарифмических уравнений 373
33.2. Решение логарифмических неравенств 386
§ 34 Решение показательно-степенных уравнений и неравенств 393
§ 35 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 403
Дополнительные упражнения к разделу 4 413
Справочный материал 416
Ответы и указания 424
Предметный указатель 441.