Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, Книга для учителя, Потапов М.К., Шевкин А.В., 2009

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, Книга для учителя, Потапов М.К., Шевкин А.В., 2009.
    В книге рассмотрены концепция и структура учебника "Алгебра и начала математического анализа. 11 класс" авторов С.М.Никольского, М.К.Потапова, Н.Н.Решетникова, А.В.Шевкина, приведены 4 варианта примерного тематического планирования, даны методические рекомендации по изучению курса и комментарии к решению наиболее трудных задач, а также рекомендации по использованию дидактических материалов к данному учебнику (авторы: М.К.Потапов, А.В.Шевкин).
Книга предназначена учителям, работающим по учебнику "Алгебра и начала математического анализа. 11 класс" С.М.Никольского и др.
Четность, нечетность, периодичность функций.
В данном пункте вводится понятие четности (нечетности) функции. Отметим, что учащимся в изучении этого свойства функций «мешает» предыдущий опыт. Они знают, что целые числа бывают двух типов — четные и нечетные, и часто полагают, что и функции бывают только четные и нечетные. Поэтому при введении понятий «четная функция» и «нечетная функция» нужно сразу сообщить, что существуют четные функции, нечетные функции, а также функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, и функции, которые являются одновременно и четными, и нечетными. Соответствующие примеры приведены в учебнике и в дидактических материалах. Рассмотрим другие примеры.
Функция f (х) = 0 одновременно является и четной, и нечетной, так как ее можно записать в виде f (x) = 0 • х. Тогда для любого х верны равенства f (-x) = 0 • (-x) = = -0 • х = 0 • х, т. е. для любого х верны равенства f (-x) = = -f (x) и f (-х) = f (x).
Оглавление
Введение 3
О книге для учителя —
Концепция учебников серии «МГУ — школе» 4
О работе по учебнику и дидактическим материалам 5
Примерное тематическое планирование 8
Глава I. Функции. Производные. Интегралы 13
§ 1. Функции и их графики —
1.1. Элементарные функции —
1.2. Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции 14
1.3. Четность, нечетность, периодичность функций 20
1.4. Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функции 29
1.5. Исследование функций и построение их графиков элементарными методами 31
1.6. Основные способы преобразования графиков 33
1.7*. Графики функций, содержащих модули 38
1.8*. Графики сложных функций —
§ 2. Предел функции и непрерывность 43
2.1. Понятие предела функции —
2.2. Односторонние пределы 44
2.3. Свойства пределов функций 48
2.4. Понятие непрерывности функции 50
2.5. Непрерывность элементарных функций 51
2.6*. Разрывные функции 52
§ 3. Обратные функции 54
3.1. Понятие обратной функции —
3.2*. Взаимно обратные функции —
3.3*. Обратные тригонометрические функции 58
3.4*. Примеры использования обратных тригонометрических функций 60
§ 4. Производная —
4.1. Понятие производной 61
4.2. Производная суммы. Производная разности 62
4.3*. Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференциал —
4.4. Производная произведения. Производная частного 63
4.5. Производные элементарных функций 64
4.6. Производная сложной функции 66
4.7*. Производная обратной функции 68
§ 5. Применение производной 69
5.1. Максимум и минимум функции —
5.2. Уравнение касательной 75
5.3. Приближенные вычисления 79
5.4*. Теоремы о среднем 80
5.5. Возрастание и убывание функции 81
5.6. Производные высших порядков 83
5.7*. Выпуклость графика функции 84
5.8*. Экстремум функции с единственной критической точкой 85
5.9. Задачи на максимум и минимум 89
5.10*. Асимптоты. Дробно-линейная функция 95
5.11. Построение графиков функций с применением производных 98
5.12*. Формула и ряд Тейлора 101
§ 6. Первообразная и интеграл 102
6.1. Понятие первообразной —
6.2*. Замена переменной. Интегрирование по частям 104
6.3. Площадь криволинейной трапеции 106
6.4. Определенный интеграл 108
6.5*. Приближенное вычисление определенного интеграла 110
6.6. Формула Ньютона — Лейбница 111
6.7. Свойства определенного интеграла 114
6.8*. Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах 117
6.9*. Понятие дифференциального уравнения 119
6.10*. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 120
Глава II. Уравнения. Неравенства. Системы 122
§ 7. Равносильность уравнений и неравенств 123
7.1. Равносильные преобразования уравнений —
7.2. Равносильные преобразования неравенств 124
§ 8. Уравнения-следствия 128
8.1. Понятие уравнения-следствия —
8.2. Возведение уравнения в четную степень 130
8.3. Потенцирование логарифмических уравнений 133
8.4. Другие преобразования, приводящие к уравнению-следствию 134
8.5. Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию 137
§ 9. Равносильность уравнений и неравенств системам 141
9.1. Основные понятия —
9.2. Решение уравнений с помощью систем 142
9.3. Решение уравнений с помощью систем (продолжение) —
9.4*. Уравнения вида / (а (х)) = f ((3 (х)) 147
9.5. Решение неравенств с помощью систем 150
9.6. Решение неравенств с помощью систем (продолжение) —
9.7*. Неравенства вида / (а (х)) > f ((3 (х)) 153
§ 10. Равносильность уравнений на множествах 154
10.1. Основные понятия 155
10.2. Возведение уравнения в четную степень 156
10.3*. Умножение уравнения на функцию 158
10.4*. Другие преобразования уравнений 160
10.5*. Применение нескольких преобразований 165
10.6*. Уравнения с дополнительными условиями 168
§ 11. Равносильность неравенств на множествах 171
11.1. Основные понятия 172
11.2. Возведение неравенства в четную степень 173
11.3*. Умножение неравенства на функцию 174
11.4*. Другие преобразования неравенств 175
11.5*. Применение нескольких преобразований 176
11.6*. Неравенства с дополнительными условиями 180
11.7*. Нестрогие неравенства 183
§ 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств 186
12.1. Уравнения с модулями —
12.2. Неравенства с модулями 190
12.3. Метод интервалов для непрерывных функций 193
§ 13*. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств 197
13.1*. Использование областей существования функций
13.2*. Использование неотрицательности функций 199
13.3*. Использование ограниченности функций 201
13.4*. Использование монотонности и экстремумов функций 204
13.5*. Использование свойств синуса и косинуса 208
§ 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными 209
14.1. Равносильность систем —
14.2. Система-следствие 214
14.3. Метод замены неизвестных 216
14.4*. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений 219
§ 15*. Уравнения, неравенства и системы с параметрами 228
15.1*. Уравнения с параметром 229
15.2*. Неравенства с параметром 230
15.3*. Системы уравнений с параметром 232
15.4*. Задачи с условиями 234
Глава III. Комплексные числа 246
§ 16*. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел —
16.1*. Алгебраическая форма комплексного числа —
16.2*. Сопряженные комплексные числа 247
16.3*. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
§ 17*. Тригонометрическая форма комплексных чисел 248
17.1*. Тригонометрическая форма комплексного числа
17.2*. Корни из комплексных чисел и их свойства 252
§ 18*. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел 253
18.1*. Корни многочленов —
18.2*. Показательная форма комплексного числа.