Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс. Колмогоров А. Н. 2008

Название: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс.
Автор: Колмогоров А. Н.
2008
   Учебник написан на высоком научном уровне, основные теоретические положения иллюстрируются конкретными примерами. Каждый пункт книги содержит образцы решения типичных задач, соответствующих обязательному уровню подготовки по данной теме, и более трудные задачи для учащихся, хорошо и отлично усвоивших пройденный материал. Вопросы и задачи на повторение, которыми заканчивается каждая глава учебника, позволят учащимся проконтролировать свои знания и умения по основным темам курса, а также могут быть использованы учителем при проведении итогового опроса или зачета. Упражнения для повторения всего курса помещены в главе «Задачи на повторение», а задачи повышенной трудности содержит заключительная глава.
   Тригонометрические функции числового аргумента
1. Синус, косинус, тангенс и котангенс (повторение)
1. Радианная мера. Вы уже знакомы с радианной мерой углов. Угол в 1 радиан — это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (рис. 1). Радианная
и градусная меры связаны зависимостью 180° = п радиан; угол в n°
равен пn\180 радиан.
При радианном измерении углов упрощается ряд формул.
Так, для окружности радиуса r длина l ее дуги в а радиан находится по формуле
l = аr; площадь S сектора круга радиуса r, дуга которого содержит а радиан.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
I. Глава. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента
1. Синус, косинус, тангенс и котангенс (повторение) 5
2. Тригонометрические функции и их графики 14
§ 2. Основные свойства функций
3. Функции и их графики 21
4. Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций 31
5. Возрастание и убывание функций. Экстремумы 40
6. Исследование функций 48
7. Свойства тригонометрических функций. Гармонические колебания 56
§ 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств
8. Арксинус, арккосинус и арктангенс 64
9. Решение простейших тригонометрических уравнений 69
10. Решение простейших тригонометрических неравенств 75
11. Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений 81
Сведения из истории 85
Вопросы и задачи на повторение 91
II. Глава. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 4. Производная
12. Приращение функции 97
13. Понятие о производной 101
14. Понятия о непрерывности функции и предельном переходе 108
15. Правила вычисления производных 113
16. Производная сложной функции 118
17. Производные тригонометрических функций 121
§ 5. Применения непрерывности и производной
18. Применения непрерывности 124
19. Касательная к графику функции 129
20. Приближенные вычисления 134
21. Производная в физике и технике 137
§ 6. Применения производной к исследованию функции
22. Признак возрастания (убывания) функции 143
23. Критические точки функции, максимумы и минимумы 147
24. Примеры применения производной к исследованию функции 151
25. Наибольшее и наименьшее значения функции 155
Сведения из истории 160
Вопросы и задачи на повторение 170
III. Глава. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 7. Первообразная
26. Определение первообразной 174
27. Основное свойство первообразной 177
28. Три правила нахождения первообразных 181
§ 8. Интеграл
29. Площадь криволинейной трапеции 185
30. Интеграл. Формула Ньютона — Лейбница 188
31. Применения интеграла 194
Сведения из истории 199
Вопросы и задачи на повторение 205
IV. Глава. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ВИЛ ФУНКЦИИ
§ 9. Обобщение понятия степени
32. Корень n-й степени и его свойства 207
33. Иррациональные уравнения 214
34. Степень с рациональным показателем 218
§ 10. Показательная и логарифмическая функции
35. Показательная функция 224
36. Решение показательных уравнений и неравенств 229
37. Логарифмы и их свойства 233
38. Логарифмическая функция 238
39. Решение логарифмических уравнений и неравенств 242
40. Понятие об обратной функции 246
§ 11. Производная показательной и логарифмической функций
41. Производная показательной функции. Число е 251
42. Производная логарифмической функции 256
43. Степенная функция 259
44. Понятие о дифференциальных уравнениях 263
Сведения из истории 269
Вопросы и задачи на повторение 273
V. Глава. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
§ 1. Действительные числа
1. Рациональные и иррациональные числа 277
2. Проценты. Пропорции 279
3. Прогрессии 280
§ 2. Тождественные преобразования
4. Преобразования алгебраических выражений 281
5. Преобразование выражений, содержащих радикалы и степени с дробными показателями 282
6. Преобразования тригонометрических выражений 283
7. Преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы 285
§ 3. Функции
8. Рациональные функции 286
9. Тригонометрические функции 290
10. Степенная, показательная и логарифмическая функции 293
§ 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
11. Рациональные уравнения и неравенства 295
12. Иррациональные уравнения и неравенства 297
13. Тригонометрические уравнения и неравенства 298
14. Показательные уравнения и неравенства 299
15. Логарифмические уравнения и неравенства 300
16. Системы рациональных уравнений и неравенств 301
17. Системы иррациональных уравнений 302
18. Системы тригонометрических уравнений —
19. Системы показательных и логарифмических уравнений 303
20. Задачи на составление уравнений и систем уравнений 304
§ 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения
21. Производная 306
22. Применение производной к исследованию функций 308
23. Применение производной в физике и геометрии 310
24. Первообразная 312
25. Интеграл —
VI. Глава. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
§ 1. Числа и преобразования выражений
1. Целые числа 314
2. Метод математической индукции 315
3. Действительные числа 316
4. Преобразование выражений 317
5. Прогрессии 318
§ 2. Элементарные функции и их свойства
6. Исследование функций 319
7. Графики функций 322
§ 3. Уравнения, неравенства и системы
8. Рациональные алгебраические уравнения 325
9. Рациональные алгебраические неравенства 327
10. Системы рациональных алгебраических уравнений 328
11. Задачи на составление уравнений и их систем 329
12. Иррациональные уравнения и неравенства 330
13. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы 333
14. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 335
§ 4. Начала математического анализа
15. Производная 337
16. Применение производной к исследованию функций 338
17. Применение производной в физике и геометрии 340
18. Первообразная 341
19. Интеграл 343
Ответы и указания к упражнениям 346
Предметный указатель 377