Алгебра и начала анализа, 11 класс, Ответы на экзаменационные билеты, Лаппо Л.Д., Попов М.А., 2008

Алгебра и начала анализа, 11 класс, Ответы на экзаменационные билеты, Лаппо Л.Д., Попов М.А., 2008.
 
  В данном пособии приводятся ответы на все вопросы экзаменационных билетов по алгебре и началам анализа, предлагаемых Министерством образования и науки РФ для проведения устной итоговой аттестации выпускников 11 классов общеобразовательных школ.
Предлагаемые ответы полностью удовлетворяют требованиям, предъявляемым на экзаменах в школах, и помогут школьникам быстро и эффективно подготовиться к экзаменам, систематизировать и укрепить свои знания.
В пособии содержатся шпаргалки к билетам.
Пособие предназначено для выпускников общеобразовательных школ, колледжей, техникумов и других средних и среднеспециальных образовательных учреждений.

Правило нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции. Пример.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то функция f(x) принимает на отрезке [а, b] наибольшее и наименьшее значения. Если при этом она имеет конечное число критических точек, то найти такие значения позволяет следующее правило:
Вычисляются значения функции на концах отрезка и во всех критических точках, принадлежащих отрезку. Максимальное из найденных чисел задаст наибольшее значение функции на отрезке. Для нахождения наименьшего значения функции нужно найти минимальное из них.
Приведем обоснование этого правила.
Существование наибольшего и наименьшего значения функции следует из теоремы Вейерштрасса. В пен утверждается, что если функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то существуют точки, в которых функция f(x) достигает наибольшего и наименьшего значения на отрезке [а, b].
СОДЕРЖАНИЕ
Билет № 1   6
1. Понятие возрастающей функции, пример, графическая иллюстрация 6
2. Свойства степеней с действительным показателем. Доказательство одной из теорем о свойствах степеней с рациональным показателем 7
Билет № 2   8
1. Понятие о точках максимума (минимума) функции, пример, графическая иллюстрация 8
2. Вывод общей формулы корней уравнения sin x = a 9
Билет № 3   11
1. а) Понятие о степени с рациональным показателем 11
б) Понятие арксинуса числа, пример 11
2. Основное свойство первообразной, его геометрическая иллюстрация 12
Билет № 4 14
1. а) понятие убывающей функции, пример, графическая иллюстрация 14
б) Понятие арккосинуса числа, пример 14
2. Показательная функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств 15
Билет № 5   18
1. а) Основные тригонометрические тождества 18
б) Понятие арктангенса числа, пример 18
2. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств 18
Билет № 6
1. Понятие производной, ее механический смысл 20
2. Вывод общей формулы корней уравнения cos х = а 21
Билет № 7 22
1. Понятие производной, ее геометрический смысл 22
2. Вывод общей формулы корней уравнения tg x = а 22
Билет № 8 23
1. а) Понятие синуса числа, пример, графическая иллюстрация 23
б) Понятие о непрерывности функции, пример, графическая иллюстрация 23
2. Свойства корней n-й степени.
Доказательство одной из теорем 25
Билет № 9 26
1. а) Понятие косинуса числа, пример, графическая иллюстрация 26
б) Теоремы о непрерывности рациональных и дробно-рациональных функций на области их определения 26
2. Свойства логарифмов.
Доказательство одной из теорем (по выбору учащегося) 27
Билет № 10 29
1. Понятие о первообразной функции 29
2. Функция у = tg х, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств 29
Билет № 11 32
1. а) Нахождение скорости процесса, заданного формулой 32
б) Понятие об интеграле 32
2. Функция у = sin х, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств 33
Билет № 12 35
1. а) Формула Ньютона-Лейбница 35
б) Формула Ньютона-Лейбница. Пример применения формулы для вычисления интегралов 35
2. Функция у = cos х, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств 35
Билет №13 37
1. Правило нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции. Пример 37
2. а) Синус и косинус двойного угла 38
б) Формулы суммы и разности синусов(косинусов). Доказательство одной из формул 38
Билет № 14 39
1. Понятие экстремума функции, пример 39
2. Формулы сложения тригонометрических функций и следствия нз них. Доказательство одной из формул (по указанию учителя) 40
Билет № 15 43
1. а) Понятие четной функции, пример, графическая иллюстрация 43
б) Признак постоянства функции на промежутке, пример, графическая иллюстрация 43
2. Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции 44
Билет № 16 45
1. а) Понятие тангенса числа 45
б) Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл 45
2. Степенная функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств 46
Билет №17 49
1. Основные тригонометрические тождества 49
2. Правила вычисления первообразных. Доказательство одного из правил 49
Билет № 18 51
1. а) Логарифм числа, пример 51
б) Логарифм числа, пример, основное логарифмическое тождество 51
2. Таблица первообразных элементарных функций 52
Билет № 19 54
1. Формулы приведения, примеры 54
2. Теорема о производной суммы двух функций 54
Билет №20 56
1. Десятичный и натуральный логарифмы, число е 56
2. Достаточные условия возрастания функции 56
Билет № 21 57
1. Понятие котангенса числа, пример 57
2. Таблица производных элементарных функций (степенной, синуса, косинуса). Доказательство одной из формул 57
Билет №22 59
1. Понятие нечетной функции, пример, иллюстрация на графике 59
2. Производная показательной функции 54
Билет № 23 60
1. Понятие степени с рациональным показателем 60
2. Касательная. Вывод уравнения касательной к графику дифференцируемой функции в данной точке 61
Билет № 24 62
1. Понятие периодической функции, пример, иллюстрация на графике 62
2. Достаточные условия убывания функции 63
Билет № 25 64
1. а) Логарифм числа, пример. Формула перехода к новому основанию 64
б) Понятие об интеграле 65
2. Достаточные условия существования максимума (минимума) функции 65
ШПАРГАЛКА К БИЛЕТАМ 67.