Алгебра - Часть II - Киселев А.П.

Название: Алгебра - Часть II. 2005.
Автор: Киселев А.П.
    В наше время книги А.П. Киселёва стали библиографической редкостью и неизвестны молодым учителям. А между тем дальнейшее совершенствование преподавания математики невозможно без личного знакомства каждого учителя с учебниками, некогда считавшимися эталонными. Именно по этой причине и предпринимается переиздание «Алгебры» А.П. Киселёва.
    Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для общеобразовательных школ и лицеев.


   Учебники А. П. Киселёва по арифметике, алгебре и геометрии долгие годы пользовались - и вполне заслуженно - самой высокой репутацией. Дальнейшее совершенствование преподавания математики в школе и взвешенная оценка нынешних пособий невозможны без личного знакомства с учебниками, считавшимися в свое время эталонными. «Чаще и внимательнее перечитывайте классиков» - эта глубокая мудрость касается не только бессмертных шедевров художественной литературы. С полным правом распространяется она и на книги «мэтров» педагогики и методики преподавания, ибо профессиональное искусство обучающего и оригинальность преподнесения материала подчас важнее академических познаний учителя и следования инструктивным письмам.
ОГЛАВЛЕНИЕ. Ч.II.
Уроки алгебры 3
Предисловие 6
Глава 1 ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СО СТЕПЕНЯМИ И КОРНЯМИ
I. Возведение в степень 7
1. Действие возведения в степень (7). 2. Степень отрицательного числа (7). 3. Возведение в степень одночленов (7).
II. Возведение в квадрат многочлена 8
4. Вывод формулы (8). 5. Замечание о знаках (9).
III. Понятие об иррациональных числах 10
6. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки (10). 7. Понятие об измерении (10). 8. Иррациональные числа и их приближённые значения (11). 9. Равенство и неравенство между иррациональными числами. Вещественные числа (12). 10. Определение действий над иррациональными числами (13). 11. Извлечение корня. Определение (14). 12. Приближённые корни любой степени (15).
IV. Преобразование иррациональных выражений 16
13. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения (16). 14. Основное свойство радикала (17). 15. Извлечение арифметического корня из произведения, из степени и из дроби (18). 16. Простейшие преобразования радикалов (19). 17. Подобные радикалы (20). 18. Действия над иррациональными одночленами (21). 19. Действия над иррациональными многочленами (24). 20. Освобождение знаменателя дроби от радикалов (24).
V. Иррациональные уравнения 26
21. Задача (26). 22. Посторонние решения (27). 23. Освобождение уравнения от двух квадратных радикалов (28).
Глава 2 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
I. Функциональная зависимость 29
24. Постоянные и переменные величины (29). 25. Аргумент и функция (30). 26. Три способа выражения функциональной зависимости (31). 27. Метод координат (32). 28. Определение положения точки на плоскости (34).
II. Прямая и обратная пропорциональность 35
29. Прямая пропорциональная зависимость (35). 30. Общее определение пропорциональной зависимости (36). 31. Обратная пропорциональная зависимость (36). 32. Общее определение обратной пропорциональной зависимости (37). 33. График прямой пропорциональной зависимости (38). 34. Изменение положения прямой при изменении коэффициента пропорциональности (39). 35. График обратной пропорциональности (40).
III. Линейная функция 42
36. Двучлен первой степени. Задача (42). 37. График двучлена первой степени (43). 38. Изменение двучлена у = кх + + Ъ с изменением х (45). 39. Замечания (45). 40. Построение прямой у = кх + Ъ по двум точкам (46).
Глава 3 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
I. Дополнительные сведения о квадратных уравнениях 48
41. Формула корней квадратного уравнения (48). 42. Дискриминант (48). 43. Свойства корней квадратного уравнения (теорема Виета) (49). 44. Трёхчлен второй степени (51). 45. Разложение трёхчлена второй степени (51).
II. График квадратичной функции 53
46. График функции у = х2 (53). 47. График функции у = ах2 (55). 48. График функции у = ах2 + Ь (56). 49. График трёхчлена второй степени (56). 50. Графический способ решения квадратного уравнения (59). 51. Биквадратное уравнение (61). 52. Уравнения, левая часть которых разлагается на множители, а правая есть нуль (62). 53. Двучленное уравнение (63). 54. Решение двучленных уравнений третьей степени (63). 55. Различные значения корня (64). 56. Трёхчленное уравнение (65).
III. Системы уравнений второй степени 66
57. Степень уравнения с несколькими неизвестными (66). 58. Общий вид полного уравнения второй степени с двумя неизвестными (66). 59. Системы двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое - второй (66). 60. Искусственные приёмы (67). 61. Система двух уравнений, из которых каждое второй степени (69). 62. Графический способ решения систем уравнений второй степени (70).
Глава 4 НЕРАВЕНСТВА
I. Неравенства первой степени 73
63. Предварительное замечание (73). 64. Основные свойства неравенств (73). 65. Вопросы относительно неравенств (74). 66. Равносильные неравенства (74). 67. Теорема 1 (75). 68. Теорема 2 (75). 69. Теорема 3 (77). 70. Доказательство неравенства (78). 71. Решение неравенства первой степени с одним неизвестным (78). 72. Два неравенства первой степени с одним неизвестным (79).
Глава 5 ПРОГРЕССИИ
I. Арифметическая прогрессия 80
73. Задача (80). 74. Определение (80). 75. Формула любого члена арифметической прогрессии (81). 76. Формула суммы членов арифметической прогрессии (82). 11. Замечание (84). 78. Формула суммы квадратов чисел натурального ряда (84).
II. Геометрическая прогрессия 86
79. Задача (86). 80. Определение (87). 81. Сравнение геометрической прогрессии с арифметической прогрессией (87). 82. Формула любого члена геометрической прогрессии (88). 83. Формула суммы членов геометрической прогрессии (89). 84. Пример на геометрическую прогрессию (90).
III. Бесконечные прогрессии 91
85. Некоторые свойства бесконечных прогрессий (91). 86. Понятие о пределе (93). 87. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (94). 88. Применение геометрической прогрессии к десятичным периодическим дробям (95).
Глава 6 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЯХ
I. Целые показатели 98
89. Свойства целых положительных показателей (98). 90. Нулевой показатель (99). 91. Отрицательные целые показатели (99). 92. Действия над степенями с отрицательными показателями (100).
II. Дробные показатели 101
93. В каком смысле употребляются дробные показатели (101). 94. Основное свойство дробного показателя (102). 95. Действия над степенями с дробными показателями (102). 96. Примеры на действия с дробными и отрицательными показателями (103).
III. Понятие об иррациональном показателе 104
97. Смысл степени с иррациональным показателем (104).
IV. Показательная функция 105
98. Определение (105). 99. Свойства показательной функции (106). 100. График показательной функции (108).
Глава 7 ЛОГАРИФМЫ
I. Общие свойства логарифмов 111
101. Два действия, обратных возведению в степень (111). 102. Определение (112). 103. Логарифмическая функция и её график (113). 104. Основные свойства логарифмов (114). 105. Практическое значение логарифмических таблиц (116). 106. Логарифмы произведения, частного, степени и корня (117). 107. Логарифмирование алгебраического выражения (119). 108. Замечания (120).
II. Свойства десятичных логарифмов 121
109. Свойства десятичных логарифмов (121). 110. Следствия (124).
III. Устройство и употребление таблиц 125
111. Система логарифмов (125). 112. Преобразование отрицательного логарифма (125). 113. Описание четырёхзначных таблиц и пользование ими (126). 114. Интерполирование (128). 115. Таблицы антилогарифмов (129). 116. Замечание об интерполировании (130). 117. Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками (130). 118. Замена вычитаемых логарифмов слагаемыми (131). 119. Примеры вычислений с помощью логарифмов (132). 120. Употребление пятизначных таблиц (135).
IV. Показательные и логарифмические уравнения 135
121. Примеры уравнений (135). 122. Формула сложных процентов (136).
Глава 8 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
I. Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным 139
123. Что значит исследовать уравнение (139). 124. Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным (139). 125. Положительное решение (139). 126. Отрицательное решение (140). 127. Нулевое решение (141). 128. Случай, когда уравнение не имеет корня (141). 129. Как надо понимать равенство — = ±оо (142). 130. Неограниченный рост корня (142). 131. Неопределённое решение (143). 132. Графическое истолкование решения уравнения ах = Ъ (143). II. Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 145 133. Общие формулы (145). 134. Исследование (145).
III. Исследование квадратного уравнения 147
135. Исследование формул (147). 136. Задача о двух источниках света (148).
Глава 9 МНИМЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
137. Мнимые числа (151). 138. Комплексные числа (151). 139. Действия над комплексными числами (152). 140. Геометрическое изображение комплексного числа (155). 140а. Тригонометрическая форма комплексного числа (156). 1406. Действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме (160).
Глава 10 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ
I. Делимость многочлена 169
141. Делимость многочлена, целого относительно ж, на разность х - а. (169). 142. Делимость двучлена жт =р ат на х =р =р а (171). 143. Частные, получаемые при делении жт =р ат на х =р а (171). 144. Общий вид алгебраического уравнения (172). 145. Некоторые свойства алгебраического уравнения (172).
Глава 11 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ
146. Вводные замечания (175). 147. Признак невозможности решения уравнения в целых числах (175). 148. Признак невозможности решения уравнения в положительных числах (176). 149. Общая формула корней неопределённого уравнения (176). 150. Способ подстановки (178). 151. Частный вид неопределённого уравнения (179). 152. Общее решение неопределённого уравнения (179). 153. Упрощение решения уравнения (182). 154. Положительные решения (185).
Глава 12 СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА
I. Соединения 189
155. Определение (189). 156. Размещения (189). 157. Задачи (191). 158. Перестановки (191). 159. Задачи (192). 160. Сочетания (192). 161. Другой вид формулы числа сочетаний (193). 162. Свойство сочетаний (193).
II. Бином Ньютона 194
163. Произведение биномов, отличающихся только вторыми членами (194). 164. Формула бинома Ньютона (196). 165. Свойства формулы бинома Ньютона (197). 166. Применение формулы бинома к многочлену (199).
ДОПОЛНЕНИЯ
I. Непрерывные дроби 201
167. Определение непрерывной дроби (201). 168. Обращение непрерывной дроби в обыкновенную (201). 169. Обращение обыкновенной дроби в непрерывную (202). 170. Подходящие дроби (203). 171. Закон составления подходящих дробей (204). 172. Теорема 1 (206). 173. Теорема 2 (207). 174. Теорема 3 (209). 175. Приближённые значения данной арифметической дроби (210). 176. Извлечение квадратного корня (210). 177. Нахождение решения неопределённого уравнения (211). 178. Вычисление логарифма (213).
II. О пределах 214
179. Определения (214). 180. Некоторые свойства бесконечно малых величия (215). 181. Свойства пределов (216).
III. Исследование квадратного трёхчлена. Неравенства второй степени 221
182. Задача (221). 183. Квадратный трёхчлен, имеющий вещественные различные корни (222). 184. Квадратный трёхчлен, имеющий равные корни (228). 185. Квадратный трёхчлен, имеющий мнимые корни (230). 186. Общий вывод (232). 187. Неравенства второй степени (234).
Ответы к упражнениям 241