Математические методы компьютерной графики

Автор: Цисарж В. В., Марусик Р. И.
Год издания: 2004
Издательство: Факт
Язык: русский
Размер: 7,49 Мб
Страниц: 466
Формат: DJVU
ISBN: 966-664-097-Х
Книга посвящена изложению основных математических методов, которые используются в компьютерной графике. Излагается теория кватернионов и устанавливается их связь с другими кинематическими параметрами. Изложена теория конечного поворота и кинематика углового движения твердого тела на основе операций умножения кватернионов. Отдельные главы посвящены использованию методов векторной алгебры, дифференциальных уравнений для решения задач компьютерной графики.
Книга может представлять интерес для программистов и специалистов, занятых в игровой индустрии.
Содержание:
Глава 1. Аналитическая геометрия на прямой. Векторы
1.1. Направленные отрезки
1.2. Ось. Координата направленного отрезка
1.3. Ось координат. Координата точки
1.4. Теорема Шаля. Координата направленного отрезка, заданного двумя точками, лежащими на оси
1.5. Деление направленного отрезка в данном отношении
1.6. Векторы
1.7. Параллельное проектирование
1.8. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат на плоскости
1.9. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат в пространстве
1.10. Координаты вектора на плоскости и в пространстве
1.11. Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве
1.12. Деление направленного отрезка в данном отношении в 2D- и 3D-пространствах
Глава 2. Математические основы векторной алгебры
2.1. Сумма и разность векторов. Произведение числа на вектор
2.2. Линейная зависимость векторов. Линейная комбинация векторов. Коллинеарность векторов. Компланарность векторов
2.3. Базис и координаты вектора
Глава 3. Скалярное и векторное произведение двух векторов. Смешанное и двойное произведение
3.1. Скалярное произведение двух векторов
3.2. Угол между векторами на плоскости
3.3. Векторное произведение двух векторов
3.4. Смешанное произведение трех векторов
3.5. Координаты векторного произведения
3.6. Двойное векторное произведение
Глава 4. Линия в 2D-и 3D-пространстве
4.1. Уравнение прямой в 2D-пространстве, проходящей через данную точку в данном направлении
4.2. Параметрические уравнения прямой в 2D-пространстве
4.3. Уравнение прямой в 2D-пространстве, проходящей через две точки
4.4. Взаимное расположение двух прямых. Пучок прямых. Взаимное расположение трех прямых в 2D-пространстве
4.5. Нормальное уравнение прямой в 2D-пространстве
4.6. Угол между двумя прямыми в 2D-пространстве. Условие ортогональности двух прямых
4.7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Параметрическое уравнение прямой в 3D-пространстве
Глава 5. Плоскость и прямая в 3D-пространстве
5.1. Уравнение плоскости в ЗО-пространстве, проходящей через данную точку компланарно двум неколлинеарным векторам
5.2. Общее уравнение плоскости в 3D-пространстве
5.3. Параметрические уравнения плоскости в 3D-пространстве
5.4. Уравнение плоскости в 3D-пространстве, проходящей через две точки компланарно данному вектору
5.5. Уравнение плоскости, проходящей через точки, не принадлежащие одной прямой
5.6. Взаимное расположение двух плоскостей в 3D-пространстве
5.7. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
5.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в 3D-пространстве
5.9. Прямая как линия пересечения двух плоскостей в 3D-пространстве
5.10. Пучок плоскостей
5.11. Взаимное расположение трех плоскостей в 3D-пространстве
5.12. Связка плоскостей
5.12. Нормальное уравнение плоскости
5.13. Расстояние от точки до плоскости
5.15. Угол между двумя плоскостями. Условие их ортогональности
5.16. Угол между прямой и плоскостью
5.17. Уравнения общего перпендикуляра к двум неколлинеарным прямым
5.17. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми
Глава 6. Отображения и преобразования
6.1. Произведение преобразований
6.2. Линейные преобразования и линейные отображения точек пространства, плоскости и прямой
6.3. Ортогональные преобразования и движения
6.4. Свойства аффинных преобразований и отображений
6.5. Подобные преобразования
6.6. Собственные векторы линейного преобразования
6.7. Самосопряженное линейное преобразование и его собственные векторы
6.8. Представление аффинного преобразования в виде произведения ортогонального преобразования и трех сжатий к попарно перпендикулярным плоскостям
Глава 7. Преобразование декартовой системы координат в 2D- и 3D-пространстве
7.1. Перенос системы координат
7.2. Преобразование общей декартовой системы координат на плоскости
7.3. Преобразование общей декартовой системы координат в пространстве
7.4. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат в 2D-пространстве к другой с той же ориентацией и с тем же началом координат
7.5. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат в 20-пространстве к другой с противоположной ориентацией и с тем же началом координат
7.6. Общее преобразование одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости в другую
7.7. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе в 3D-пространстве
Глава 8. Гиперкомплексные числа
8.1. Комплексные числа
8.2. Определение кватернионов
8.3. Кватернионы и векторная алгебра
8.4. Свойства кватернионов
8.5. Представление кватерниона на сфере
8.6. Преобразование вращения
Глава 9. Теория конечного поворота твердого тела в 3D-пространстве
9.1. Направляющие косинусы
9.2. Представление ортогонального преобразования в форме умножения кватернионов
9.3. Преобразование базисов
9.4. Гиперкомплексное отображение
9.5. Инвариантность операции вращения
9.6. Конечный поворот. Вектор конечного поворота
9.7. Вектор ориентации
9.8. Параметры Родрига-Гамильтона
9.9. Параметры Кейли-Клейна
9.10. Углы Эйлера и Эйлера-Крылова
9.11. Сложение поворотов
9.12. Связь параметров Родрига-Гамильтона с другими кинематическими параметрами
9.13. Сплайны Кочанека-Бартельса
9.14. Сферическая линейная интерполяция для кватернионов
9.15. Определение координат вектора при угловых поворотах
9.16. Определение ортогонального поворота по кватерниону
9.17. Применение нетрадиционных (ненормированных) кватернионов для управления ориентацией твердого тела
Глава 10. Трассировка лучей
10.1. Квадратные полиномы
10.2. Кубические полиномы
10.3. Полиномы четвертой степени
10.4. Пересечение линии и шара
10.5. Пересечение луча и эллипсоида
10.6. Пересечение луча с эллиптическим цилиндром
10.7. Пересечение луча с круговым тором
10.8. Пересечение поверхности второго порядка с прямой
10.9. Пересечение прямой с полигоном
10.10. Условие принадлежности точки данному треугольнику
10.11. Нормальный вектор эллипсоида
10.12. Отражение и преломление лучей
10.13. Пересечение трех плоскостей
Глава 11. Область отсечения
11.1. Интерполирование перспективной коррекции
11.2. Интерполяция атрибутов вершин
11.3. Проецирование
11.4. Перспективная проекция
11.5. Ортографическая проекция
11.6. Извлечение плоскостей отсечения
Глава 12. Освещение поверхностей
12.1. Цвет RGB
12.2. Источники освещения
12.3. Диффузный свет
12.4. Наложение текстур (текстурный маппинг)
12.5. Блики
12.6. Излучение
12.7. Затенение
Глава 13. Динамика свободной материальной точки в 3D-пространстве
13.1. Динамические уравнения движения свободной материальной точки
13.2. Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме
13.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме
13.4. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной форме
13.5. Уравнения движения материальной точки в произвольной ортогональной системе координат
13.6. Уравнения движения свободной материальной точки в форме Лагранжа в случае сферических координат
13.7. Уравнения движения свободной материальной точки в форме Лагранжа в случае цилиндрических координат
13.8. Уравнения движения свободной материальной точки в форме Лагранжа в случае полярной системы координат
13.9. Две задачи динамики свободной материальной точки
13.10. Частные случаи интегрирования уравнений движения свободной материальной точки в конечном виде
13.11. Движение тяжелой материальной точки, брошенной вертикально вверх
13.12. Движение тяжелой материальной точки, брошенной под углом к горизонту
13.13. Виды колебательных движений материальной точки
13.14. Свободные колебания материальной точки
13.15. Затухающие колебания материальной точки
13.16. Вынужденные колебания материальной точки без учета сопротивления среды
13.17. Влияние силы сопротивления на вынужденные колебания материальной точки
Глава 14. Динамика относительного движения
14.1. Основное уравнение динамики относительного движения
14.2. Некоторые частные случаи относительного движения материальной точки
14.3. Движение материальной точки при наличии нестационарной связи
Глава 15. Общие сведения о механических системах. Меры механического движения. Геометрия масс. Основные теоремы
15.1. Классификация механических систем
15.2. Динамические уравнения движения механических систем
15.3. Меры механического движения
15.4. Центр масс механической системы
15.5. Моменты инерции механической системы
15.6. Момент инерции механической системы относительно произвольной оси, проходящей через данную точку
15.7. Тензор инерции механической системы в некоторой точке
15.8. Преобразование тензора инерции механической системы
Глава 16. Общие теоремы динамики системы материальных точек
16.1. Количество движения механической системы
16.2. Преобразование количества движения механической системы при переходе от неинерциальной системы отсчета к системе отсчета, принимаемой за неподвижную
16.3. Теорема об изменении количества движения механической системы. Теорема о движении центра масс
16.4. Теорема об изменении количества движения механической системы в неинерциальной системе отсчета
16.5. Теорема о движении центра масс механической системы
16.6. Законы сохранения количества движения механической системы
16.7. Об элементарной теории удара
16.8. Удар материальной точки о неподвижную плоскость
16.9. Прямой центральный удар двух шаров
16.10. Другие варианты соударения двух шаров
16.11. Соударение двух объектов, перемещающихся в пространстве произвольно
16.12. Соударение двух объектов, перемещающихся в пространстве произвольно с учетом трения
Глава 17. Момент количества движения материальной точки
17.1. Вычисление момента количества движения материальной точки и кинетического момента механической системы
17.2. Преобразование кинетического момента механической системы при перемене центра приведения
17.3. Преобразование кинетического момента механической системы при переходе от поступательно движущейся неинерциальной системы отсчета к неподвижной
17.4. Преобразование кинетического момента механической системы при переходе от произвольной неинерциальной системы отсчета к неподвижной
17.5. Вычисление кинетического момента в различных случаях движения твердого тела
17.6. Теорема об изменении кинетического момента механической системы в инерциальной системе отсчета
17.7. Теорема об изменении кинетического момента механической системы, вычисленного относительно подвижного полюса
17.8. Теорема об изменении кинетического момента механической системы при движении относительно неинерциальной системы координат
17.9. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
17.10. Законы сохранения кинетического момента механической системы
Глава 18. Кинетическая энергия материальной точки, системы материальных точек, твердого тела
18.1. Кинетическая энергия материальной точки и системы материальных точек
18.2. Преобразование кинетической энергии механической системы при переходе от поступательно движущейся неинерциальной системы отсчета к неподвижной
18.3. Преобразование кинетической энергии механической системы при переходе от произвольной неинерциальной системы отсчета к неподвижной
18.4. Вычисление кинетической энергии в частных случаях движения твердого тела
18.5. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
18.6. Теорема об изменении кинетической энергии несвободной материальной точки
18.7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении
18.8. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы относительно неподвижной системы отсчета
18.9. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в относительном движении по отношению к неинерциальной системе отсчета
18.10. Полная механическая энергия системы материальных точек и закон ее изменения и сохранения
Глава 19. Динамика твердого тела
19.1. Основные динамические величины твердого тела и связь между ними
19.2. Уравнения произвольных движений свободного твердого тела
19.3. Уравнения поступательного движения твердого тела
19.4. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
19.5. Приведение системы сил, действующих на тело, движущееся плоскопараллельно, к равнодействующей
19.6. Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки
19.7. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции (случай Эйлера-Пуансо)
19.8. Классификация связей. Число степеней свободы механической системы
19.9. Действительные и возможные перемещения
19.10. Число степеней свободы механической системы
19.11. Принцип возможных перемещений
19.12. Обобщенные координаты, обобщенные скорости, обобщенные силы
19.13. Обобщенные силы и способы их вычисления
Глава 20. Уравнения Лагранжа второго рода
20.1. Тождество Лагранжа
20.2. Уравнения движения точки в полярных координатах
20.3. Уравнения движения материальной точки в цилиндрических координатах
20.4. Уравнения движения материальной точки в сферических координатах
20.5. Кинетическая энергия и диссипативная функция в обобщенных координатах и скоростях
20.6. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в обобщенных координатах и скоростях
20.7. Об уравнениях Лагранжа второго рода
20.8. Уравнения Лагранжа второго рода в однородных координатах
20.9. Примеры составления уравнений движения Лагранжа второго рода
20.10. Динамика многозвенных механических систем
Рекомендуемая литература