Математика для экономистов, Макаров, 2008

Математика для экономистов, Макаров С.И., 2008.
   В учебном пособии изложены основы математического анализа, линейной алгебры, аналитической и многомерной геометрии, рядов, квадратичных форм, дифференциальных уравнений. По всем разделам приведены решения соответствующих задач, представлено большое число геометрических иллюстраций, даны экономические приложения изложенного математического аппарата и простейшие экономико-математические модели. Приложения к изданию содержат примеры решения задач и другие методические материалы.
Пособие написано в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов по математике. Предназначено для подготовки специалистов с высшим экономическим образованием и предназначено студентам экономических ВУЗов всех форм обучения.

Производственные функции.
Рассмотрим некоторую производственную систему.
Определение 1.14. Функция, выражающая зависимость объема производства от величины затраченных ресурсов, называется производственной.
Существует целое семейство производственных функций. Рассмотрим производственную функцию (рис. 1.1)
У =f(x),
где х — суммарная величина затрат в стоимостном выражении, у — суммарный выпуск в стоимостном выражении.
По своему экономическому смыслу, х > 0 и у > 0. Производственная функция отражает существующую технологию: изменение технологии ведет к изменению производственной функции.
Если предположить, что производственная функция строго возрастает, т.е. любое увеличение затрат ведет к увеличению выпуска, то производственная функция имеет обратную функцию х = f-1(у), которая определяет величину производственных затрат х, необходимых для выпуска объема у. Эта функция называется функцией затрат. Она будет строго возрастающей.
Оглавление
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Математическая символика
1.2. Элементы теории множеств
1.3. Свойства операций над множествами
1.4. Стандартные множества
1.5. Абсолютная величина числа
1.6. Окрестность точки
1.7. Понятие функции
1.8. Применение функций в экономике
1.8.1 Производственные функции
1.8.2 Кривые спроса и предложения. Точка равновесия
1.8.3 Паутинная модель рынка
1.9. Элементы комбинаторного анализа
Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
2.1. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности
2.2. Предел функции
2.3. Бесконечные пределы. Односторонние пределы
2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства
2.5. Сравнение бесконечно малых функций
2.6. Основные теоремы о пределах
2.7. Признаки существования предела
2.8. Замечательные пределы
2.9. Раскрытие неопределенностей
2.10 Непрерывные проценты
Глава 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
3.1. Непрерывность функции в точке
3.2. Свойства функций, непрерывных на множестве
3.3. Точки разрыва функции
3.4. Непрерывность производственных функций
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.1. Производная
4.2. Геометрический смысл производной
4.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
4.4. Свойства производных
4.5. Производные от элементарных функций
4.6. Дифференциал
4.7. Связь между производной и дифференциалом
4.8. Дифференциал независимой переменной
4.9. Геометрический смысл дифференциала
4.10. Свойства дифференциала
4.11. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
4.12. Производные высших порядков
4.13. Правило Лопиталя
4.14. Возрастание и убывание функций
4.15. Экстремумы функции
4.16. Выпуклость графика функции. Точки перегиба графика
4.17. Асимптоты графика функции
4.18. Схема исследования функции
4.19. Применение понятия производной в экономике
4.19.1. Предельная себестоимость
4.19.2. Эластичность спроса
4.19.3. Максимизация прибыли
4.19.4. Закон убывающей эффективности производства
Глава 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
5.1. Первообразная. Неопределенный интеграл
5.2. Свойства неопределенного интеграла
5.3. Таблица основных неопределенных интегралов
5.4. Непосредственное интегрирование
5.5. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
5.6. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле
5.7. Интегрирование рациональных функций
5.8. Интегрирование дробно-линейных иррациональных функций
5.9. Интегрирование тригонометрических выражений
5.9.1. Интегралы от произведений синуса и косинуса разных аргументов
5.9.2. Интегралы от степеней синуса и косинуса одного аргумента
5.9.3. Интегралы от рациональной функции, содержащей синус и косинус
5.10. Определенный интеграл
5.11. Геометрический смысл определенного интеграла
5.12. Свойства определенного интеграла
5.13. Вычисление определенного интеграла
5.14. Интегрирование по частям и метод замены переменной в определенном интеграле
5.15. Приложения определенного интеграла
5.15.1. Вычисление площадей фигур, расположенных под (над) графиком функции на некотором отрезке
5.15.2. Вычисление площади фигур, ограниченных графиками двух функций на некотором отрезке
5.15.3. Вычисление объемов тел, полученных от вращения графика функции вокруг оси ОХ
5.15.4. Вычисление объемов тел, полученных от вращения графика функции вокруг оси OY
5.16. Приближенное вычисление определенного интеграла
5.17. Несобственные интегралы
5.18. Несобственные интегралы первого рода
5.19. Несобственные интегралы второго рода
5.20. Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
5.20.1. Темп роста выпуска оборудования
5.20.2. Задача дисконтирования
Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
6.1. Понятие о дифференциальном уравнении
6.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
6.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
6.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
6.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
6.6. Применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике
Глава 7. РЯДЫ
7.1. Числовые ряды
7.2. Свойства числовых рядов
7.3. Необходимый признак сходимости ряда
7.4. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами
7.5. Знакопеременные ряды
7.6. Знакочередующиеся ряды
7.7. Степенные ряды
7.8. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
7.9. Ряды Маклорена
7.10. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
Глава 8. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
8.1. Линейное векторное пространство
8.2. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол между векторами
8.3. Коллинеарные и ортогональные векторы
8.4. Системы векторов
8.5. Линейная зависимость векторов
8.6. Ранг и базис системы векторов
8.7. Ранг и базис n-мерного линейного векторного пространства
8.8. Ортогональные системы векторов
8.9. Матрицы
8.10. Виды матриц
8.11. Операции над матрицами
8.12. Определители
8.13. Свойства определителей
8.14. Миноры и алгебраические дополнения
8.15. Обратная матрица
8.16. Элементарные преобразования над матрицей. Нахождение обратной матрицы
8.17. Ранг матрицы
8.18. Собственные векторы и значения матриц
8.19. Системы линейных уравнений
8.20. Матричная форма записи системы
8.21. Условие совместности
8.22. Решение системы с помощью формул Крамера
8.23. Решение системы с помощью обратной матрицы
8.24. Решение произвольных систем линейных неоднородных уравнений
8.25. Метод Гаусса
8.26. Таблицы Гаусса
8.27. Нахождение неотрицательных базисных решений системы
8.28. Однородные системы линейных уравнений
8.29. Совместность однородной системы
8.30. Общее решение однородной системы
8.31. Применение линейной алгебры в экономике
8.31.1. Производственные показатели
8.31.2. Расход сырья
8.31.3. Конечный продукт отрасли
8.31.4. Прогноз выпуска продукции
8.31.5. Линейная модель многоотраслевой экономики
8.31.6. Линейная модель торговли
Глава 9. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
9.1. Декартова прямоугольная система координат
9.1.1. Расстояние между двумя точками на плоскости
9.1.2. Деление отрезка в данном отношении
9.2. Общее уравнение прямой
9.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
9.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
9.5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
9.6. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
9.7. Эллипс
9.8. Окружность
9.9. Гипербола
9.10. Парабола
9.11. Параллельный перенос системы координат
9.12. Поворот системы координат
9.13. Уравнение плоскости в пространстве
9.14. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору
9.15. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
9.16. Каноническое уравнение прямой в пространстве
9.17. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки
Глава 10. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
10.1. Понятие квадратичной формы
10.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Глава 11. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
11.1. Евклидово пространство. Выпуклые множества
11.2. Решение систем линейных неравенств
11.3. Решение систем линейных неравенств с двумя переменными
11.4. Представление выпуклого многогранника
11.5. Допустимые решения системы линейных уравнений и неравенств
Глава 12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
12.1. Понятие функции многих переменных
12.2. Непрерывность функции многих переменных
12.3. Частные производные функции многих переменных
12.4. Полный дифференциал
12.5. Производная по направлению
12.6. Градиент функции многих переменных
12.7. Частные производные высших порядков
12.8. Экстремумы функций многих переменных
12.9. Глобальный максимум
12.10. Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов
12.11. Применение функций нескольких переменных в экономике
12.11.1. Прибыль от производства товаров разных видов
12.11.2. Оптимальное распределение ресурсов
12.11.3. Оптимизация спроса
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Контрольные вопросы
2. Тематика задач (практические умения и навыки)
3. Примеры решения задач
Библиографический список.