Математика для экономистов, Красс М.С., Чупрынов Б.П., 2005

Математика для экономистов, Красс М.С., Чупрынов Б.П., 2005.
   В учебном пособии изложены необходимые экономистам основы высшей математики, на которых базируются математические методы, применяемые для решения конкретных экономических задач. Авторы приводят основные элементы методов оптимизации в экономике и финансовой математике, приемы расчетов рисковых ситуаций. Особое внимание уделено эконометрике. Материал каждого раздела проиллюстрирован примерами и сопровождается подборкой задач для практических занятий, В приложениях приведены значения табличных коэффициентов, используемых в расчетах.
Пособие рекомендовано УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики для специальностей 060400 "Финансы и кредит", 060500 "Бухгалтерский учет, анализ и аудит", 060600 "Мировая экономика", 351200 "Налоги и налогообложение" и будет полезно студентам, аспирантам и преподавателям экономических и смежных специальностей ВУЗов, заочного и дистанционного обучения, лицам, получающим второе высшее образование, а также экономистам-практикам.
Современная математика интенсивно проникает в другие науки: по многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики универсален, что является объективным отражением универсальности и законов окружающего нас многообразного мира.
Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со Средних веков пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов. Так, современный бухгалтерский учет основан на принципах, изложенных еще в 1494 г. в фундаментальном труде Луки Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», в котором часть I, отдел 9, представляет собой трактат XI «О счетах и записях». Современная экономика использует методы, разработанные в XX п. Л. В. Канторовичем. В. В. Леонтьевым. Е. Е. Слуцким. В это же время интенсивно развивался и математический аппарат, применяемый в экономике.
В предлагаемое учебное пособие включены основные разделы базовой математики, составляющие минимально необходимый аппарат экономики: математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей и математическая статистика. В качество математических методов экономики, основанных на этих разделах математики, рассмотрены линейное программирование, основы финансовой математики, элементы теории рисков и эконометрика. Такая подборка тем позволяет рассмотреть как традиционные методы математики, используемые в экономике, так и новые методы, активно применяемые в последнее время.
Оглавление
Введение 11
Часть I. Линейная алгебра и ее приложения 13
Глава 1 Элементы линейной алгебры 14
1.1. Векторное пространство 14
1.1.1. Векторы и их свойства 14
1.1.2. Операции над векторами 15
1.1.3. Скалярное произведение векторов 15
1.1.4. Линейная зависимость векторов 16
1.1.5. Базис и ранг системы векторов 17
1.1.6. Разложение вектора по базису 18
1.1.7. Разложение вектора в ортогональном базисе 18
1.2. Матрицы 19
1,2.1. Понятие матрицы 19
1.2.2- Линейные операции над матрицами 20
1.2.3. Транспонирование матриц 21
1.2.4. Произведение матриц 22
1.2.5. Собственные значения и собственные векторы матрицы 25
1.2.6. Ранг матрицы 26
1.2.7. Понятие обратной матрицы 26
1.3. Определители 27
1.3.1. Операции над определителями 27
1.3.2. Основные свойства определителей 28
1.3.3. Миноры и алгебраические дополнения 29
1.3.4. Ранг матрицы и системы векторов 31
1.4. Системы линейных алгебраических уравнений 32
1.4.1, Общий вид и свойства системы уравнений 32
1.4.2. Матричная форма системы /равнений 33
1.5. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 34
1.5.1. Метод обратной матрицы 34
1.5.2. Метод Крамера 35
1 5.3. Метод Гаусса 36
1.5.4, Вычисление обратной матрицы методом Гаусса 41
1.6. Однородные системы линейных уравнений 42
1.6.1. Решение системы однородных уравнений 42
1.6.2. Фундаментальная система решений 43
1.5.3. Характеристическое уравнение 45
Глава 2. Применение элементов линейной алгебры в экономике 51
2.1, Использование алгебры матриц 51
2.2, Использование систем линейных уравнений 54
2.3, Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 55
2.3.1. Балансовые соотношения 55
2.3.2. Линейная модель многоотраслевой экономики 57
2.3.3. Продуктивные модели Леонтьева 58
Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения 63
Глава 3. Множества вещественных чисел 64
3.1. Вещественные числа 64
3.1 1 Свойства вещественных чисел 64
3.1.2. Числовая прямая 65
3.1.3. Абсолютная величина числа 67
3.2. Числовые последовательности 67
3.2.1. Числовые последовательности и операции над ними 67
3.2.2. Сходящиеся последовательности 68
3.2.3 Основные свойства сходящихся последовательностей 70
3.2.4 Число е 72
Глава 4. Функции одной переменной 75
4.1. Функциональная зависимость 75
4.1.1. Основные понятия 75
4.1.2. Область определения функции 77
4.2. Предел функции 78
4.2.1. Предел функции в точке 78
4.2.2. Левый и правый пределы функции 79
4.2.3. Теоремы о пределах функций 80
4.2.4. Два замечательных предела 82
4.2.5. бесконечно малые и бесконечно большие функции 83
4.3. Непрерывные функции 84
4.3.1. Непрерывность функции в точке 84
4.3.2. Непрерывность элементарных функций в точке 85
4.3.3. Непрерывность функции на интервале и отрезке 86
4.3.4. Классификация точек разрыва функции 86
4.3.5. Понятие сложной функции 87
4.4. Элементы аналитической геометрии на плоскости 88
4.4.1. Линии первого порядка 88
4.4.2. Линии второго порядка 90
4.5. Приложений в экономике 93
4.5.1. Кривые спроса и предложения. Точка равновесия 93
4.5.2. Паутинная модель рынка 94
Глава 5. Основы дифференциального исчисления 97
5.1. Дифференцирование 97
5.1.1. Понятие производной 97
5.1.2. Геометрический смысл производной 98
5.1.3. Физический смысл производной 99
5.1.4. Правая и левая производные 99
5.1.5. Уравнение касательной к графику функции в данной точке. 100
5.1.6. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного 100
5.1.7. Таблица производных простейших элементарных функций 101
5.1.8 Дифференцирование сложной функции 101
5.2. Дифференциал функции 103
5.2.1. Определение и геометрический смысл дифференциала 103
5.2.2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала 104
5.3. Понятие производной п-го порядка 104
Глава 6. Приложения аппарата производных 108
6.1. Раскрытие неопределенностей 10В
6.1.1 Правило Лопиталя 108
6.1 2. Неопределенность вида 109
6.1.3. Другие виды неопределенностей 109
6.2. Формула Маклорена 111
6.3. Исследование функций 113
6.3.1. Признак монотонности функции 113
6.3.2. Точки локального экстремума 114
6.3.3. Выпуклость и точка перегиба графика функции 115
6.3.4. Асимптоты графика функции 118
6.3.5. Схема исследования графика функции 119
6.4. Применение в экономике 122
6.4.1. Предельные показатели а микроэкономике 122
6.4.2. Эластичность экономических показателей 123
6.4.3. Максимизация прибыли 125
Глава 7. Интегралы 127
7.1. Неопределенный интеграл 127
7.1.1. Первообразная 127
7.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла 128
7.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов 128
7.1.4. Основные методы интегрирования 130
7.2. Определенный интеграл 135
7.2.1. Определение определенного интеграла 135
7.2.2. Классы интегрируемых функций 136
7.2.3. Основные свойства определенного интеграла 136
7.2.4. Основная формула интегрального исчисления 138
7.2.5. Основные правила интегрирования 139
7.2.6. Геометрические приложения определенного интеграла 141
7.2.7. Несобственные интегралы 144
Глава 8. Функции нескольких переменных 150
8.1. Евклидово пространство ?т 150
3.1.1. Евклидова плоскость и евклидово пространство 150
8.1.1. Понятие m-мерного евклидова пространства 150
8.1.2. Множества точек евклидова пространства Ет 151
8.2. Понятие функции нескольких переменных 152
8.2.1. Некоторые виды функций нескольких переменных 153
8.2.2. Линии уровня 155
8.3. Мастные производные функции нескольких переменных 156
8.3.1. Частные производные первого порядка 156
8.3.2. Градиент 157
8.3.3. Частные производные высших порядков 158
8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных 159
8.4.1. Необходимые условия локального экстремума 159
8.4.2. Достаточные условия локального экстремума 161
8.5. Применение в задачах экономики 162
8.5.1. Прибыль от производства разных видов продукции 162
8.5.2. Максимизация прибыли производства однородной продукции 163
8.5.3. Метод наименьших квадратов 164
Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений 169
9.1. Уравнения первого порядка 169
9.1.1. Основные понятия 169
9.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными 171
9.1.3. Неполные уравнения 173
9.1.4. Линейные уравнения первого порядка 173
9.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 175
9,2.1 Основные понятия 175
9.2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 176
9.2.3. Линейное однородное уравнение 176
9.2.4. Линейные неоднородные уравнения 178
9.2.5. Задача Коши и краевая задача для уравнении второго порядка 179
Часть III. Элементы теории вероятностей и математической статистики 183
Глава 10. Основные положения теории вероятностей 184
10.1. Основные понятия теории вероятностей 184
10.1.1. Некоторые формулы комбинаторики 134
10.1.2. Виды случайных событий 185
10.1.3. Понятие вероятности 155
10.г. Умножение вероятностей 186
10.2.1. Произведение событий и условная вероятность 186
10.2.2. Независимые события 188
10.3. Обобщение умножения и сложения вероятностей 189
10.3.1. Сложение вероятностей совместных событий 189
10.3.2. Формула полной вероятности 190
10.3.3. Формулы Байеса 191
10.4. Схема независимых испытаний 192
10.4.1. Формула Бернулли 192
10.4.2. Интегральная теорема Лапласа 193
Глава 11. Случайные величины 197
11.1. Дискретные случайные величины 197
11.1.1. Табличный закон распределения 197
11.1.2. Биномиальное распределение 199
11.1.3. Распределение Пуассона 199
11.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин 200
11.2.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины 200
11.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины 201
11.2.3. Среднее квадратическое отклонение 203
11.2.4. Коэффициент корреляции 204
11.2.5. Линейная регрессия 205
11.3. Непрерывные случайные величины 206
11.3.1. Функция и плотность распределения вероятности 206
11.3.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 207
11.4. Основные распределения непрерывных случайных величин 209
11.4.1. Равномерное распределение. 209
11.4.2. Нормальное распределение 210
11.4.3. Распределение %г Пирсона 211
11.4.4. Распределение Стьюдента 212
11.4.5, Распределение Фишера 212
Глава 12. Элементы математической статистики 216
12.1. выборочный метод 216
12 1.1. Выборки 216
12.1.2. Способы отбора 217
12.1.3. Статистическое распределение выборки 213
12.1.4. Эмпирическая функция распределения 219
12.1.5. Полигон и гистограмма 220
12.2. Статистические оценки параметров распределения 222
12.2.1. Виды статистических оценок 222
12.2.2. Эмпирические моменты 223
12.23. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения 224
12.2.4. Доверительный интервал 225
12.3. Статистические оценки статистических гипотез 226
12.3.1. Виды статистических гипотез 227
12.3.2. Обитая схема проверки статистических гипотез 227
12.3.3. Типы статистических критериев проверки гипотез 228
Часть IV. Математические методы в экономике 233
Глава 13. Методы расчета рисковых ситуаций в экономике 234
13.1. Элементы теории игр 234
13.1.1. Основные понятия и классификация 235
13.1.2. Формальное представление игр 236
13.1.3. Антагонистические игры 23В
13.1.4. Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры 241
13.1.5. Позиционные игры 244
13.2. Рисковые ситуации 246
13.2.1. Выбор с помощью дерева решений 246
13.2.2. Мера риска 249
13.3. Портфельный анализ 251
13.3.1. Формирование инвестиционного портфеля 251
13.32. Доходность и риск портфеля 252
13.3.3. Диверсификация портфеля. 254
13.3.4. Выбор оптимального портфеля 255
Глава 14. Линейное программирование 259
14.1. Графический метод 261
14.1.1, Алгоритм решения задачи ЛП 261
14.1.2. Определение оптимального плана выпуска изделий 262
14.1.3. Экономический анализ задач 264
14 2. Симплексный метод 267
14.2.1. Симплексные таблицы и алгоритм решения 267
14.2-2- Применение симплексного метода а задачам ЛГС 269
14.3. Двойственные задачи 272
14.3 1. Виды математических моделей двойственных задач 272
14.3 2. Решение двойственных задач 275
14.3.3- Экономический анализ задачи оптимального использования ресурсов 280
14.3.4, Применение теории двойственности в экономических приложениях 282
14.4, Транспортная задача 286
14.4.1. Закрытая транспортная задача 236
14.4.2 Открытая транспортная задача 295
Глава 15. Элементы финансовой математики 313
15.1. Простые проценты 314
15.1.1. Процентные ставки, формулы наращения 315
15.1.2. Дисконтирование и учет 320
15.2. Сложные проценты 325
15.2.1 Формулы наращения 325
15.2.2. Номинальная и эффективная ставки процентов и их учет 328
15 2 3 Непрерывные проценты 333
15,2 4. Расчет срока ссуды и процентных ставок 334
15.3. Начисление процентов е условиях инфляции 336
15.3.1. Начисление по простым процентам 336
15.3.2. Начисление по сложным процентам 337
15.4. Потоки платежей 339
15.4.1. Финансовые ренты 340
15 4.2. Формулы наращенной суммы 341
15.4.3. Формулы современной величины 344
15.4.4. Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты 345
15 5. Некоторые приложения финансовой математики 347
15.5.1. Конверсия валюты и начисление процентов 347
15.5.2. Погашение задолженности частями 353
15.5.3. Переменная сумма счета и расчет процентов 356
15.5 4. Изменение условий контракта 358
15.5.5. Модели операций с ценными бумагами 359
Часть V. Основы эконометрики 373
Глава 16. Нелинейная регрессия vi корреляция 375
16.1. Нелинейная регрессия 375
16.2. Нелинейная корреляция 381
Глава 17. Множественная регрессия и корреляция 386
17.1. Некоторые особенности множественной регрессии и корреляции 336
17.2 Отбор факторов и методы построения множественной линейной корреляционной и регрессионной зависимостей 387
Глава 18. Прогнозирование экономических процессов 402
18.1. Элементы временного ряда 402
18.1.1. Классификация экономических прогнозов 402
18.1.2. Виды временных рядов 403
18.1.3. Требования к исходной информации 404
18.2. Основные показатели динамики экономических процессов 409
18.2.1. Основные показатели динамики 409
18.2.2. Сглаживание временных рядов 412
18.3. Применение моделей кривых роста в экономическом прогнозировании 417
18.3.1. Характеристики моделей кривых роста 417
18.3.2. Расчет доверительных интервалов прогноза 424
18.3.3. Оценка адекватности модели 426
18.3.4. Характеристики точности модели 428
Ответы к упражнениям 434
ПРИЛОЖЕНИЯ 445
Предметный указатель 462